Математический анализ Примеры

$\frac{d v}{d t} = \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)$ , $v (0) = 2$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d v = (\frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t)) d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d v = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} + \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$v + C_{1} = \int \frac{8}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1 + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.3

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$v + C_{1} = 8 \int \frac{1}{1^{2} + t^{2}} d t + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{1^{2} + t^{2}}$ по $t$ имеет вид $\arctan (t) + C_{2}$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \int \sec^{2} (t) d t$

Этап 2.3.5

Поскольку производная $\tan (t)$ равна $\sec^{2} (t)$ , интеграл $\sec^{2} (t)$ равен $\tan (t)$ .

$v + C_{1} = 8 (\arctan (t) + C_{2}) + \tan (t) + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$v + C_{1} = 8 \arctan (t) + \tan (t) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $t$ и $2$ вместо $v$ в $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ .

$2 = 8 \arctan (0) + \tan (0) + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$ .

$8 \arctan (0) + \tan (0) + K = 2$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим $8 \arctan (0) + \tan (0) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Точное значение $\arctan (0)$ : $0$ .

$8 \cdot 0 + \tan (0) + K = 2$

Этап 4.2.1.1.2

Умножим $8$ на $0$ .

$0 + \tan (0) + K = 2$

Этап 4.2.1.1.3

Точное значение $\tan (0)$ : $0$ .

$0 + 0 + K = 2$

Этап 4.2.1.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + K = 2$

Этап 4.2.1.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 2$

Этап 5

Подставим $2$ вместо $K$ в $v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $2$ вместо $K$ .

$v = 8 \arctan (t) + \tan (t) + 2$