Математический анализ Примеры

$(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ , $y (0) = 1$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ на $x^{2} + 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x} = x y$ на $x^{2} + 1$ .

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(x^{2} + 1) \frac{d y}{d x}}{x^{2} + 1} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x y}{x^{2} + 1}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1} y$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (\frac{x}{x^{2} + 1} y)$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{x}{x^{2} + 1} y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y \frac{x}{x^{2} + 1})$

Этап 1.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 1}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 2.3.1.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 2.3.1.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 2.3.1.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\ln (| x^{2} + 1 |)$ .

$\ln (| y |) = \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 3.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.3

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y |) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (y^{2}) - \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 3.6.1.1.3

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2} = C$

Этап 3.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ .

$\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}) = C$

Этап 3.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |})}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 3.6.1.4

Применим правило умножения к $\frac{y^{2}}{| x^{2} + 1 |}$ .

$\ln (\frac{{(y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1.5.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (\frac{y^{2 (\frac{1}{2})}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.1.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (\frac{y^{1}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.6.1.5.2

Упростим.

$\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$

Этап 3.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}})} = e^{C}$

Этап 3.8

Перепишем $\ln (\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 3.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = e^{C}$

Этап 3.9.2

Умножим обе части на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1

Сократим общий множитель ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.9.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 3.9.3.1.2

Перепишем это выражение.

$y = e^{C} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $C$ , подставив $0$ вместо $x$ и $1$ вместо $y$ в $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$1 = C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 6

Решим относительно $C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ .

$C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$

Этап 6.2

Разделим каждый член $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ на ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = 1$ на ${| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{C {| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.2.2

Разделим $C$ на $1$ .

$C = \frac{1}{{| 0^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$C = \frac{1}{{| 0 + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.3.1.2

Добавим $0$ и $1$ .

$C = \frac{1}{{| 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.3.1.3

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между $0$ и $1$ равно $1$ .

$C = \frac{1}{1^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6.2.3.1.4

Единица в любой степени равна единице.

$C = \frac{1}{1}$

Этап 6.2.3.2

Разделим $1$ на $1$ .

$C = 1$

Этап 7

Подставим $1$ вместо $C$ в $y = C {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $1$ вместо $C$ .

$y = 1 {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 7.2

Умножим ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$y = {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$