Математический анализ Примеры

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{- 3}$ , $y (2) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = x^{- 3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int x^{- 3} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{- 3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$

Этап 2.3.2

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перепишем $- \frac{1}{2} x^{- 2} + C_{2}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{x^{2} \cdot 2} + C_{2}$

Этап 2.3.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = - \frac{1}{2 x^{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = - \frac{1}{2 x^{2}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2

Умножим $3 (- \frac{1}{2 x^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Умножим $- 1$ на $3$ .

$y^{3} = - 3 \frac{1}{2 x^{2}} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$y^{3} = \frac{- 3}{2 x^{2}} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{- \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{- \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{3}{2 x^{2}} + 3 K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1.1

Вынесем множитель $3$ из $- \frac{3}{2 x^{2}}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K}$

Этап 3.4.1.2

Вынесем множитель $3$ из $3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K}$

Этап 3.4.1.3

Вынесем множитель $3$ из $3 (- \frac{1}{2 x^{2}}) + 3 K$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K)}$

Этап 3.4.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + K \cdot \frac{2 x^{2}}{2 x^{2}})}$

Этап 3.4.3

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Объединим $K$ и $\frac{2 x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$y = \sqrt[3]{3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + \frac{K (2 x^{2})}{2 x^{2}})}$

Этап 3.4.3.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + K (2 x^{2})}{2 x^{2}}}$

Этап 3.4.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$y = \sqrt[3]{3 \frac{- 1 + 2 K x^{2}}{2 x^{2}}}$

Этап 3.4.5

Объединим $3$ и $\frac{- 1 + 2 K x^{2}}{2 x^{2}}$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + 2 K x^{2})}{2 x^{2}}}$

Этап 3.4.6

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{3 (- 1 + 2 K x^{2})}{2 x^{2}}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$

Этап 3.4.7

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$

Этап 3.4.8

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})}}{\sqrt[3]{2 x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{2 x^{2}} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$

Этап 3.4.8.2

Возведем $\sqrt[3]{2 x^{2}}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}$

Этап 3.4.8.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.8.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{3}}$

Этап 3.4.8.5

Перепишем ${\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{3}$ в виде $2 x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{2 x^{2}}$ в виде ${(2 x^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{({(2 x^{2})}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.8.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.8.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.8.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.8.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{{(2 x^{2})}^{1}}$

Этап 3.4.8.5.5

Упростим.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} {\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.1

Перепишем ${\sqrt[3]{2 x^{2}}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(2 x^{2})}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{{(2 x^{2})}^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.2

Применим правило умножения к $2 x^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{2^{2} {(x^{2})}^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.3

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 {(x^{2})}^{2}}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.4

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.4.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 x^{2 \cdot 2}}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.4.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 x^{4}}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.5

Перепишем $4 x^{4}$ в виде $x^{3} \cdot (4 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.5.1

Вынесем $x^{3}$ за скобки.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{4 (x^{3} x)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.5.2

Изменим порядок $4$ и $x^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{x^{3} \cdot 4 x}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.5.3

Добавим круглые скобки.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} \sqrt[3]{x^{3} \cdot (4 x)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{\sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2})} x \sqrt[3]{4 x}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.9.7.1

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{x \sqrt[3]{3 (- 1 + 2 K x^{2}) (4 x)}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.9.7.2

Умножим $4$ на $3$ .

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.10

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}$ .

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x^{2}}$

Этап 3.4.10.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.10.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{2}$ .

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{x (2 x)}$

Этап 3.4.10.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x \sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{x (2 x)}$

Этап 3.4.10.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x}$

Этап 3.4.10.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{12 (- 1 + 2 K x^{2}) x}}{2 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + 2 K x^{2})}}{2 x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + K x^{2})}}{2 x}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $2$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + K x^{2})}}{2 x}$ .

$0 = \frac{\sqrt[3]{12 \cdot 2 (- 1 + K \cdot 2^{2})}}{2 \cdot 2}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Приравняем числитель к нулю.

$\sqrt[3]{12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2}))} = 0$

Этап 6.2

Решим уравнение относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2}))}}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.2.2

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2}))}$ в виде ${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Упростим ${({(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 2^{2})))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.2.1

Возведем $2$ в степень $2$ .

${(12 \cdot (2 (- 1 + K \cdot 4)))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.2.2

Перенесем $4$ влево от $K$ .

${(12 \cdot (2 (- 1 + 4 K)))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.3

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

${(12 \cdot (2 \cdot - 1 + 2 (4 K)))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.3.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

${(12 \cdot (- 2 + 2 (4 K)))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.3.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

${(12 \cdot (- 2 + 8 K))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

${(12 \cdot - 2 + 12 (8 K))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.3.4

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1.3.4.1

Умножим $12$ на $- 2$ .

${(- 24 + 12 (8 K))}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.3.4.2

Умножим $8$ на $12$ .

${(- 24 + 96 K)}^{1} = 0^{3}$

Этап 6.2.2.2.1.3.4.3

Упростим.

$- 24 + 96 K = 0^{3}$

Этап 6.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$- 24 + 96 K = 0$

Этап 6.2.3

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Добавим $24$ к обеим частям уравнения.

$96 K = 24$

Этап 6.2.3.2

Разделим каждый член $96 K = 24$ на $96$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.1

Разделим каждый член $96 K = 24$ на $96$ .

$\frac{96 K}{96} = \frac{24}{96}$

Этап 6.2.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1

Сократим общий множитель $96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{96 K}{96} = \frac{24}{96}$

Этап 6.2.3.2.2.1.2

Разделим $K$ на $1$ .

$K = \frac{24}{96}$

Этап 6.2.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.3.1

Сократим общий множитель $24$ и $96$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.3.1.1

Вынесем множитель $24$ из $24$ .

$K = \frac{24 (1)}{96}$

Этап 6.2.3.2.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.2.3.1.2.1

Вынесем множитель $24$ из $96$ .

$K = \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2.3.1.2.2

Сократим общий множитель.

$K = \frac{24 \cdot 1}{24 \cdot 4}$

Этап 6.2.3.2.3.1.2.3

Перепишем это выражение.

$K = \frac{1}{4}$

Этап 7

Подставим $\frac{1}{4}$ вместо $K$ в $y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + K x^{2})}}{2 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{1}{4}$ вместо $K$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + \frac{1}{4} x^{2})}}{2 x}$

Этап 7.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 + \frac{x^{2}}{4})}}{2 x}$

Этап 7.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (- 1 \cdot \frac{4}{4} + \frac{x^{2}}{4})}}{2 x}$

Этап 7.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x (\frac{- 1 \cdot 4}{4} + \frac{x^{2}}{4})}}{2 x}$

Этап 7.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{- 1 \cdot 4 + x^{2}}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.5.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{- 2^{2} + x^{2}}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.5.2

Изменим порядок $- 2^{2}$ и $x^{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{x^{2} - 2^{2}}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.5.3

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{12 x \frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.6

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Объединим $12$ и $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x \frac{12 ((x + 2) (x - 2))}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.6.2

Объединим $x$ и $\frac{12 ((x + 2) (x - 2))}{4}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{x (12 ((x + 2) (x - 2)))}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.7

Избавимся от ненужных скобок.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{x \cdot 12 (x + 2) (x - 2)}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.8

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1

Сократим выражение $\frac{x \cdot 12 (x + 2) (x - 2)}{4}$ путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.8.1.1

Вынесем множитель $4$ из $x \cdot 12 (x + 2) (x - 2)$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{4 (x \cdot 3 (x + 2) (x - 2))}{4}}}{2 x}$

Этап 7.2.8.1.2

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{4 (x \cdot 3 (x + 2) (x - 2))}{4 (1)}}}{2 x}$

Этап 7.2.8.1.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{4 (x \cdot 3 (x + 2) (x - 2))}{4 \cdot 1}}}{2 x}$

Этап 7.2.8.1.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{\frac{x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)}{1}}}{2 x}$

Этап 7.2.8.2

Разделим $x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)$ на $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)}}{2 x}$

Этап 7.3

Изменим порядок множителей в $y = \frac{\sqrt[3]{x \cdot 3 (x + 2) (x - 2)}}{2 x}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3 x (x + 2) (x - 2)}}{2 x}$