Математический анализ Примеры

$x^{2} (y d) y - (x + 1) (y + 1) d x = 0$

Этап 1

Добавим $(x + 1) (y + 1) d x$ к обеим частям уравнения.

$x^{2} y d y = (x + 1) (y + 1) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} (y + 1)}$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y$ .

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} (y)) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{x^{2} (y + 1)} (x^{2} y) d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y + 1} y d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Этап 3.2

Объединим $\frac{1}{y + 1}$ и $y$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2} (y + 1)} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $y + 1$ из $x^{2} (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((x + 1) (y + 1)) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y + 1$ из $(x + 1) (y + 1)$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{(y + 1) x^{2}} ((y + 1) (x + 1)) d x$

Этап 3.3.4

Перепишем это выражение.

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{1}{x^{2}} (x + 1) d x$

Этап 3.4

Умножим $\frac{1}{x^{2}}$ на $x + 1$ .

$\frac{y}{y + 1} d y = \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{y}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим $y$ на $y + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$y$

$1$

$y$

$0$

Этап 4.2.1.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $y$ на член с максимальной степенью в делителе $y$ .

					$1$
	$y$	+	$1$		$y$	+	$0$

Этап 4.2.1.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			+	$y$	+	$1$

Этап 4.2.1.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $y + 1$ .

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$

Этап 4.2.1.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$y$	+	$1$		$y$	+	$0$
			-	$y$	-	$1$
					-	$1$

Этап 4.2.1.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$\int 1 - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int - \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.4

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} - \int \frac{1}{y + 1} d y = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.5

Пусть $u = y + 1$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Пусть $u = y + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1.1

Дифференцируем $y + 1$ .

$\frac{d}{d y} [y + 1]$

Этап 4.2.5.1.2

По правилу суммы производная $y + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 4.2.5.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.2.5.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.2.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{1} - \int \frac{1}{u} d u = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$y + C_{1} - (\ln (| u |) + C_{2}) = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.7

Упростим.

$y - \ln (| u |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $y + 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int \frac{x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 4.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 4.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int (x + 1) x^{- 2} d x$

Этап 4.3.2

Умножим $(x + 1) x^{- 2}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1} x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{1 - 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3.1.2

Вычтем $2$ из $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 4.3.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Этап 4.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.5

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} + \int x^{- 2} d x$

Этап 4.3.6

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4} - x^{- 1} + C_{5}$

Этап 4.3.7

Упростим.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{6}$

Этап 4.3.8

Изменим порядок членов.

$y - \ln (| y + 1 |) + C_{3} = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C_{6}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$y - \ln (| y + 1 |) = - \frac{1}{x} + \ln (| x |) + C$