Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 8 y x^{3}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (8 y x^{3})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 \frac{1}{y} (y x^{3})$

Этап 1.2.2

Объединим $8$ и $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y x^{3})$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y$ из $y x^{3}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y (x^{3}))$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{8}{y} (y x^{3})$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = 8 x^{3}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = 8 x^{3} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int 8 x^{3} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 \int x^{3} d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $8 (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ в виде $8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 8 (\frac{1}{4}) x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $8$ и $\frac{1}{4}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{8}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $8$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $8$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $4$ из $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 (1)} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{4 \cdot 2}{4 \cdot 1} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = \frac{2}{1} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 x^{4} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{2 x^{4} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = 2 x^{4} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{2 x^{4} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{2 x^{4} + C}$ .

$| y | = e^{2 x^{4} + C}$

Этап 3.3.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{2 x^{4} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{2 x^{4} + C}$ в виде $e^{2 x^{4}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{2 x^{4}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{2 x^{4}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{2 x^{4}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{2 x^{4}}$