Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2} e^{y}$ , $y (1) = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{e^{y}}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} ({(x + 2)}^{2} e^{y})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель $e^{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1.1

Вынесем множитель $e^{y}$ из ${(x + 2)}^{2} e^{y}$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Этап 1.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{e^{y}} (e^{y} {(x + 2)}^{2})$

Этап 1.2.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = {(x + 2)}^{2}$

Этап 1.2.2

Перепишем ${(x + 2)}^{2}$ в виде $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = (x + 2) (x + 2)$

Этап 1.2.3

Развернем $(x + 2) (x + 2)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x (x + 2) + 2 (x + 2)$

Этап 1.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2)$

Этап 1.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 1.2.4

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1.1

Умножим $x$ на $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 1.2.4.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2$

Этап 1.2.4.1.3

Умножим $2$ на $2$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 2 x + 2 x + 4$

Этап 1.2.4.2

Добавим $2 x$ и $2 x$ .

$\frac{1}{e^{y}} \frac{d y}{d x} = x^{2} + 4 x + 4$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{e^{y}} d y = (x^{2} + 4 x + 4) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{e^{y}} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Поменяем знак экспоненты $e^{y}$ и вынесем ее из знаменателя.

$\int 1 {(e^{y})}^{- 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Перемножим экспоненты в ${(e^{y})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int 1 e^{y \cdot - 1} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.1.2.1.2

Перенесем $- 1$ влево от $y$ .

$\int 1 e^{- 1 \cdot y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.1.2.1.3

Перепишем $- 1 y$ в виде $- y$ .

$\int 1 e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $e^{- y}$ на $1$ .

$\int e^{- y} d y = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.2

Пусть $u = - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Пусть $u = - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1.1

Дифференцируем $- y$ .

$\frac{d}{d y} [- y]$

Этап 2.2.2.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $y$ , производная $- y$ по $y$ равна $- \frac{d}{d y} [y]$ .

$- \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.2.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int - e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int e^{u} d u = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- (e^{u} + C_{1}) = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- e^{u} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $- y$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} + 4 x + 4 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- e^{- y} + C_{1} = \int x^{2} d x + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + \int 4 x d x + \int 4 d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 \int x d x + \int 4 d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int 4 d x$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Этап 2.3.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.6.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2} + 4 (\frac{x^{2}}{2} + C_{3}) + 4 x + C_{4}$

Этап 2.3.6.2

Упростим.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{x^{3}}{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Этап 2.3.6.3

Изменим порядок членов.

$- e^{- y} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + 2 x^{2} + 4 x + C_{5}$

Этап 2.3.7

Изменим порядок членов.

$- e^{- y} + C_{1} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- e^{- y} = 2 x^{2} + \frac{1}{3} x^{3} + 4 x + K$ на $- 1$ .

$\frac{- e^{- y}}{- 1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{e^{- y}}{1} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $e^{- y}$ на $1$ .

$e^{- y} = \frac{2 x^{2}}{- 1} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{2 x^{2}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 1 \cdot (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (2 x^{2})$ в виде $- (2 x^{2})$ .

$e^{- y} = - (2 x^{2}) + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} + \frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.4

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\frac{1}{3} x^{3}}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.5

Перепишем $- 1 \cdot (\frac{1}{3} x^{3})$ в виде $- (\frac{1}{3} x^{3})$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - (\frac{1}{3} x^{3}) + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.6

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} + \frac{4 x}{- 1} + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.7

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{4 x}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 1 \cdot (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.8

Перепишем $- 1 \cdot (4 x)$ в виде $- (4 x)$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - (4 x) + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.9

Умножим $4$ на $- 1$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{K}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.10

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{K}{- 1}$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - 1 \cdot K$

Этап 3.1.3.1.11

Перепишем $- 1 \cdot K$ в виде $- K$ .

$e^{- y} = - 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K$

Этап 3.2

Возьмем натуральный логарифм обеих частей уравнения, чтобы удалить переменную из показателя степени.

$\ln (e^{- y}) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Этап 3.3

Развернем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Развернем $\ln (e^{- y})$ , вынося $- y$ из логарифма.

$- y \ln (e) = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Этап 3.3.2

Натуральный логарифм $e$ равен $1$ .

$- y \cdot 1 = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Этап 3.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Этап 3.4

Разделим каждый член $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Разделим каждый член $- y = \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Этап 3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Этап 3.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$

Этап 3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.3.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Этап 3.4.3.2

Перепишем $- 1 \cdot \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ в виде $- \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x - K)$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ .

$0 = - \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ .

$- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$

Этап 6.2

Разделим каждый член $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Разделим каждый член $- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K) = 0$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 \cdot 1 + K)}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)}{1} = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.1.2

Разделим $\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K)$ на $1$ .

$\ln (- 2 \cdot 1^{2} - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (- 2 \cdot 1 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $- 2$ на $1$ .

$\ln (- 2 - \frac{1^{3}}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.2.3

Единица в любой степени равна единице.

$\ln (- 2 - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.3

Чтобы записать $- 2$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.4

Объединим $- 2$ и $\frac{3}{3}$ .

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.5

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{- 2 \cdot 3 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.6

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.6.1

Умножим $- 2$ на $3$ .

$\ln (\frac{- 6 - 1}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.6.2

Вычтем $1$ из $- 6$ .

$\ln (\frac{- 7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.8

Чтобы записать $- 4$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} - 4 \cdot \frac{3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.9

Объединим $- 4$ и $\frac{3}{3}$ .

$\ln (- \frac{7}{3} + \frac{- 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.10

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (\frac{- 7 - 4 \cdot 3}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.11

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.11.1

Умножим $- 4$ на $3$ .

$\ln (\frac{- 7 - 12}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.11.2

Вычтем $12$ из $- 7$ .

$\ln (\frac{- 19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.2.12

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = \frac{0}{- 1}$

Этап 6.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Разделим $0$ на $- 1$ .

$\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$

Этап 6.3

Чтобы решить относительно $K$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (- \frac{19}{3} + K)} = e^{0}$

Этап 6.4

Перепишем $\ln (- \frac{19}{3} + K) = 0$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{0} = - \frac{19}{3} + K$

Этап 6.5

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{19}{3} + K = e^{0}$ .

$- \frac{19}{3} + K = e^{0}$

Этап 6.5.2

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$- \frac{19}{3} + K = 1$

Этап 6.5.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.3.1

Добавим $\frac{19}{3}$ к обеим частям уравнения.

$K = 1 + \frac{19}{3}$

Этап 6.5.3.2

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$K = \frac{3}{3} + \frac{19}{3}$

Этап 6.5.3.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{3 + 19}{3}$

Этап 6.5.3.4

Добавим $3$ и $19$ .

$K = \frac{22}{3}$

Этап 7

Подставим $\frac{22}{3}$ вместо $K$ в $y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $\frac{22}{3}$ вместо $K$ .

$y = - \ln (- 2 x^{2} - \frac{x^{3}}{3} - 4 x + \frac{22}{3})$