Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = {(2 + y)}^{2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{{(2 + y)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель ${(2 + y)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} {(2 + y)}^{2}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{{(2 + y)}^{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 + y$ . Тогда $d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 + y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 + y$ .

$\frac{d}{d y} [2 + y]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 + y$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{d}{d y} [2] + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.2.1.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{u^{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(u^{2})}^{- 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int u^{2 \cdot - 1} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int u^{- 2} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$- u^{- 1} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.4

Перепишем $- u^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{u} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{u} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.5

Заменим все вхождения $u$ на $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2 + y} + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 + y} = x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 + y, 1, 1$

Этап 3.1.2

Избавимся от скобок.

$2 + y, 1, 1$

Этап 3.1.3

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 + y$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ умножим на $2 + y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 + y} = x + K$ на $2 + y$ .

$- \frac{1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 + y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 + y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 + y} (2 + y) = x (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = x (2 + y) + K (2 + y)$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = x \cdot 2 + x y + K (2 + y)$

Этап 3.2.3.1.2

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$- 1 = 2 \cdot x + x y + K (2 + y)$

Этап 3.2.3.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$- 1 = 2 x + x y + K \cdot 2 + K y$

Этап 3.2.3.1.4

Перенесем $2$ влево от $K$ .

$- 1 = 2 x + x y + 2 K + K y$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $2 x + x y + 2 K + K y = - 1$ .

$2 x + x y + 2 K + K y = - 1$

Этап 3.3.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вычтем $2 x$ из обеих частей уравнения.

$x y + 2 K + K y = - 1 - 2 x$

Этап 3.3.2.2

Вычтем $2 K$ из обеих частей уравнения.

$x y + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$y x + K y = - 1 - 2 x - 2 K$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y x + y K = - 1 - 2 x - 2 K$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x + y K$ .

$y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$

Этап 3.3.4

Разделим каждый член $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ на $x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.1

Разделим каждый член $y (x + K) = - 1 - 2 x - 2 K$ на $x + K$ .

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1

Сократим общий множитель $x + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (x + K)}{x + K} = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x + K} + \frac{- 2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} + \frac{- 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.1.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{x + K} - \frac{2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.4.3.2.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 - 2 x}{x + K} - \frac{2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{- 1 - 2 x - 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2.3

Перепишем $- 1$ в виде $- 1 (1)$ .

$y = \frac{- 1 (1) - 2 x - 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 x$ .

$y = \frac{- 1 (1) - (2 x) - 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1) - (2 x)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - 2 K}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- 2 K$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x) - (2 K)}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2.7

Вынесем множитель $- 1$ из $- 1 (1 + 2 x) - (2 K)$ .

$y = \frac{- 1 (1 + 2 x + 2 K)}{x + K}$

Этап 3.3.4.3.2.8

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1 + 2 x + 2 K}{x + K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{1 + 2 x + K}{x + K}$