Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 4 y^{3} \cos^{2} (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{3}} (4 y^{3} \cos^{2} (x))$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \frac{1}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Этап 1.2.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{y^{3}}$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Этап 1.2.3

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.3.1

Вынесем множитель $y^{3}$ из $y^{3} \cos^{2} (x)$ .

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} (\cos^{2} (x)))$

Этап 1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{y^{3}} (y^{3} \cos^{2} (x))$

Этап 1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{3}} \frac{d y}{d x} = 4 \cos^{2} (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{3}} d y = 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{3}} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{3})}^{- 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{3 \cdot - 1} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\int y^{- 3} d y = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 3}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{2} y^{- 2}$ .

$- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{2} y^{- 2} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{y^{2} \cdot 2} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $2$ влево от $y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \int 4 \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \cos^{2} (x) d x$

Этап 2.3.2

Используем формулу половинного угла для записи $\cos^{2} (x)$ в виде $\frac{1 + \cos (2 x)}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 \int \frac{1 + \cos (2 x)}{2} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x)$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{4}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 2.3.4.2

Сократим общий множитель $4$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 2.3.4.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 (1)} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 2.3.4.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 2.3.4.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = \frac{2}{1} \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 2.3.4.2.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 \int 1 + \cos (2 x) d x$

Этап 2.3.5

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (\int d x + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 2.3.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (2 x) d x)$

Этап 2.3.7

Пусть $u = 2 x$ . Тогда $d u = 2 d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Пусть $u = 2 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1.1

Дифференцируем $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 x]$

Этап 2.3.7.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2 x$ по $x$ равна $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 2.3.7.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 2.3.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \cos (u) \frac{1}{2} d u)$

Этап 2.3.8

Объединим $\cos (u)$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \int \frac{\cos (u)}{2} d u)$

Этап 2.3.9

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} \int \cos (u) d u)$

Этап 2.3.10

Интеграл $\cos (u)$ по $u$ имеет вид $\sin (u)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + C_{2} + \frac{1}{2} (\sin (u) + C_{3}))$

Этап 2.3.11

Упростим.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (u)) + C_{4}$

Этап 2.3.12

Заменим все вхождения $u$ на $2 x$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{1}{2} \sin (2 x)) + C_{4}$

Этап 2.3.13

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sin (2 x)$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 (x + \frac{\sin (2 x)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.13.2

Применим свойство дистрибутивности.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.13.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + 2 \frac{\sin (2 x)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.13.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{2 y^{2}} + C_{1} = 2 x + \sin (2 x) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$2 y^{2}, 1, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$2 y^{2}$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ умножим на $2 y^{2}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{2 y^{2}} = 2 x + \sin (2 x) + K$ на $2 y^{2}$ .

$- \frac{1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $2 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{2 y^{2}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{2 y^{2}} (2 y^{2}) = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = 2 x (2 y^{2}) + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 2 \cdot 2 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $2$ на $2$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + \sin (2 x) (2 y^{2}) + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + K (2 y^{2})$

Этап 3.2.3.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$

Этап 3.2.3.2

Изменим порядок множителей в $4 x y^{2} + 2 \sin (2 x) y^{2} + 2 K y^{2}$ .

$- 1 = 4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$ .

$4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $4 x y^{2} + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $4 x y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 K y^{2} = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 K y^{2}$ .

$2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x) + 2 y^{2} K = - 1$

Этап 3.3.2.4

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} (2 x) + 2 y^{2} \sin (2 x)$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K = - 1$

Этап 3.3.2.5

Вынесем множитель $2 y^{2}$ из $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x)) + 2 y^{2} K$ .

$2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ на $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K) = - 1$ на $2 (2 x + \sin (2 x) + K)$ .

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $2 x + \sin (2 x) + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{2} (2 x + \sin (2 x) + K)}{2 x + \sin (2 x) + K} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Разделим $y^{2}$ на $1$ .

$y^{2} = \frac{- 1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}$

Этап 3.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Этап 3.3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Этап 3.3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

Этап 3.3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$

$y = - \sqrt{- \frac{1}{2 (2 x + \sin (2 x) + K)}}$