Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{(1 - y)}{(1 - x)}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{1 - y}$ .

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - y} \cdot \frac{1 - y}{1 - x}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{1 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 - x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{1 - y} d y = \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{1 - y} d y = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u_{1} = 1 - y$ . Тогда $d u_{1} = - d y$ , следовательно $- d u_{1} = d y$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u_{1} = 1 - y$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\int \frac{- 1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{1}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$- (\ln (| u_{1} |) + C_{1}) = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u_{1} |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 - y$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{1}{1 - x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Этап 2.3.4

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - (\ln (| u_{2} |) + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| u_{2} |) + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x$ .

$- \ln (| 1 - y |) + C_{1} = - \ln (| 1 - x |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 1 - y |) = - \ln (| 1 - x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$- \ln (| 1 - y |) + \ln (| 1 - x |) = C$

Этап 3.2

Вычтем $\ln (| 1 - x |)$ из обеих частей уравнения.

$- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$

Этап 3.3

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 1 - y |) = C - \ln (| 1 - x |)$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 1 - y |)}{- 1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 1 - y |)}{1} = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 3.3.2.2

Разделим $\ln (| 1 - y |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = \frac{C}{- 1} + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 1 - y |) = - 1 \cdot C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{- \ln (| 1 - x |)}{- 1}$

Этап 3.3.3.1.3

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| 1 - y |) = - C + \frac{\ln (| 1 - x |)}{1}$

Этап 3.3.3.1.4

Разделим $\ln (| 1 - x |)$ на $1$ .

$\ln (| 1 - y |) = - C + \ln (| 1 - x |)$

Этап 3.4

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| 1 - y |) - \ln (| 1 - x |) = - C$

Этап 3.5

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$

Этап 3.6

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |})} = e^{- C}$

Этап 3.7

Перепишем $\ln (\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}) = - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- C} = \frac{| 1 - y |}{| 1 - x |}$

Этап 3.8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} = e^{- C}$

Этап 3.8.2

Умножим обе части на $| 1 - x |$ .

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Этап 3.8.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1

Сократим общий множитель $| 1 - x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| 1 - y |}{| 1 - x |} | 1 - x | = e^{- C} | 1 - x |$

Этап 3.8.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| 1 - y | = e^{- C} | 1 - x |$

Этап 3.8.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.1

Изменим порядок множителей в $e^{- C} | 1 - x |$ .

$| 1 - y | = | 1 - x | e^{- C}$

Этап 3.8.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$1 - y = \pm | 1 - x | e^{- C}$

Этап 3.8.4.3

Изменим порядок множителей в $\pm | 1 - x | e^{- C}$ .

$1 - y = \pm e^{- C} | 1 - x |$

Этап 3.8.4.4

Вычтем $1$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$

Этап 3.8.4.5

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{- C} | 1 - x | - 1$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.8.4.5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.8.4.5.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1} + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.8.4.5.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.8.4.5.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{- C} | 1 - x |}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.8.4.5.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ в виде $- (\pm e^{- C} | 1 - x |)$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + \frac{- 1}{- 1}$

Этап 3.8.4.5.3.1.3

Разделим $- 1$ на $- 1$ .

$y = - (\pm e^{- C} | 1 - x |) + 1$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm C | 1 - x |) + 1$

Этап 4.2

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - (C | 1 - x |) + 1$