Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (- \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} - \frac{3}{x^{4}} + 12 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{x^{2}} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = - \int {(x^{2})}^{- 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \int x^{2 \cdot - 1} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.3.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - \int x^{- 2} d x + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) + \int - \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - \int \frac{3}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.6

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - (3 \int \frac{1}{x^{4}} d x) + \int 12 d x$

Этап 2.3.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int \frac{1}{x^{4}} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.7.2

Вынесем $x^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int {(x^{4})}^{- 1} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.7.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{4 \cdot - 1} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.7.3.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 \int x^{- 4} d x + \int 12 d x$

Этап 2.3.8

По правилу степени интеграл $x^{- 4}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{3} x^{- 3}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3} x^{- 3} + C_{3}) + \int 12 d x$

Этап 2.3.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.9.1

Объединим $x^{- 3}$ и $\frac{1}{3}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{x^{- 3}}{3} + C_{3}) + \int 12 d x$

Этап 2.3.9.2

Перенесем $x^{- 3}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + \int 12 d x$

Этап 2.3.10

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = - (- x^{- 1} + C_{2}) - 3 (- \frac{1}{3 x^{3}} + C_{3}) + 12 x + C_{4}$

Этап 2.3.11

Упростим.

$y + C_{1} = \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + 12 x + C_{5}$

Этап 2.3.12

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 12 x + \frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3}} + K$