Математический анализ Примеры

$x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ на $x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x^{2} \frac{d w}{d x} = \sqrt{w} (8 x + 1)$ на $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x^{2} \frac{d w}{d x}}{x^{2}} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d w}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d w}{d x} = \frac{\sqrt{w} (8 x + 1)}{x^{2}}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d w}{d x} = \sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{w}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $\sqrt{w}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{1}{\sqrt{w}} (\sqrt{w} \frac{8 x + 1}{x^{2}})$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{w}} \frac{d w}{d x} = \frac{8 x + 1}{x^{2}}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{w}} d w = \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{w}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{w}$ в виде $w^{\frac{1}{2}}$ .

$\int \frac{1}{w^{\frac{1}{2}}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.2

Вынесем $w^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.3

Перемножим экспоненты в ${(w^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int w^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\int w^{\frac{- 1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.1.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int w^{- \frac{1}{2}} d w = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $w^{- \frac{1}{2}}$ по $w$ имеет вид $2 w^{\frac{1}{2}}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int \frac{8 x + 1}{x^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Вынесем $x^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) {(x^{2})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.1.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{2 \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int (8 x + 1) x^{- 2} d x$

Этап 2.3.2

Умножим $(8 x + 1) x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x \cdot x^{- 2} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим $x$ на $x^{- 2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Перенесем $x^{- 2}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x) + 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.1.2

Умножим $x^{- 2}$ на $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 (x^{- 2} x^{1}) + 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 2 + 1} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.1.3

Добавим $- 2$ и $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + 1 x^{- 2} d x$

Этап 2.3.3.2

Умножим $x^{- 2}$ на $1$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} + x^{- 2} d x$

Этап 2.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 8 x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \int x^{- 1} d x + \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.6

Интеграл $x^{- 1}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) + \int x^{- 2} d x$

Этап 2.3.7

По правилу степени интеграл $x^{- 2}$ по $x$ имеет вид $- x^{- 1}$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 (\ln (| x |) + C_{2}) - x^{- 1} + C_{3}$

Этап 2.3.8

Упростим.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 8 \ln (| x |) - \frac{1}{x} + C_{4}$

Этап 2.3.9

Изменим порядок членов.

$2 w^{\frac{1}{2}} + C_{1} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$

Этап 3

Решим относительно $w$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $2 w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} + 8 \ln (| x |) + C$ на $2$ .

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 w^{\frac{1}{2}}}{2} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $w^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = \frac{- \frac{1}{x}}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{2} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{x}$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{8 \ln (| x |)}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.3

Сократим общий множитель $8$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.3.1

Вынесем множитель $2$ из $8 \ln (| x |)$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 (1)} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.3.2.2

Сократим общий множитель.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{2 (4 \ln (| x |))}{2 \cdot 1} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.3.2.3

Перепишем это выражение.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \frac{4 \ln (| x |)}{1} + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.3.2.4

Разделим $4 \ln (| x |)$ на $1$ .

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + 4 \ln (| x |) + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.4

Упростим $4 \ln (| x |)$ путем переноса $4$ под логарифм.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln ({| x |}^{4}) + \frac{C}{2}$

Этап 3.1.3.1.5

Уберем знак модуля в ${| x |}^{4}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$w^{\frac{1}{2}} = - \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2}$

Этап 3.2

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${(w^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 3.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Упростим ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1

Перемножим экспоненты в ${(w^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$w^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$w^{1} = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 3.3.1.2

Упростим.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + \frac{C}{2})}^{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$w = {(- \frac{1}{2 x} + \ln (x^{4}) + C)}^{2}$