Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 8 + 2 x - 3 x^{2}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (8 + 2 x - 3 x^{2}) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 8 + 2 x - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 8 d x + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + \int 2 x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 \int x d x + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) + \int - 3 x^{2} d x$

Этап 2.3.5

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 \int x^{2} d x$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + C_{2} + 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{3}) - 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C_{4})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Упростим.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 (\frac{1}{3} x^{3}) + C_{5}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - 3 \frac{x^{3}}{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.2

Объединим $- 3$ и $\frac{x^{3}}{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- 3 x^{3}}{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.3

Сократим общий множитель $- 3$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.1

Вынесем множитель $3$ из $- 3 x^{3}$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.3.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 (1)} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{3 (- x^{3})}{3 \cdot 1} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} + \frac{- x^{3}}{1} + C_{5}$

Этап 2.3.7.2.3.2.4

Разделим $- x^{3}$ на $1$ .

$y + C_{1} = 8 x + x^{2} - x^{3} + C_{5}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{1} = - x^{3} + x^{2} + 8 x + C_{5}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - x^{3} + x^{2} + 8 x + K$