Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 7 x \sqrt{2 y + 20}$ , $y (0) = 5$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (7 x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y) + 20}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.2.2

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 y + 2 \cdot 10}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ на $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 (\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}} \cdot \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}) (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ на $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{\sqrt{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.2

Возведем $\sqrt{2 (y + 10)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.3

Возведем $\sqrt{2 (y + 10)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.6

Перепишем ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ в виде $2 (y + 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (y + 10)}$ в виде ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.6.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.6.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.6.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.4.6.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.6.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{{(2 (y + 10))}^{1}} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.4.6.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 \frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.5

Объединим $7$ и $\frac{\sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 20})$

Этап 1.2.6

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y) + 20})$

Этап 1.2.6.2

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 y + 2 \cdot 10})$

Этап 1.2.6.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$

Этап 1.2.7

Умножим $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)} (x \sqrt{2 (y + 10)})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.7.1

Объединим $x$ и $\frac{7 \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)} \sqrt{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.7.2

Объединим $\frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)})}{2 (y + 10)}$ и $\sqrt{2 (y + 10)}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 \sqrt{2 (y + 10)}) \sqrt{2 (y + 10)}}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.7.3

Возведем $\sqrt{2 (y + 10)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} \sqrt{2 (y + 10)}))}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.7.4

Возведем $\sqrt{2 (y + 10)}$ в степень $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 ({\sqrt{2 (y + 10)}}^{1} {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1}))}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.7.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{1 + 1})}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.7.6

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x (7 {\sqrt{2 (y + 10)}}^{2})}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1

Перепишем ${\sqrt{2 (y + 10)}}^{2}$ в виде $2 (y + 10)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{2 (y + 10)}$ в виде ${(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {({(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.1.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.1.3

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{\frac{2}{2}}}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 {(2 (y + 10))}^{1}}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.1.5

Упростим.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.3

Умножим $2$ на $10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 20)}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.4

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 20$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.8.4.1

Вынесем множитель $2$ из $2 y$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y) + 20)}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.4.2

Вынесем множитель $2$ из $20$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 y + 2 \cdot 10)}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.4.3

Вынесем множитель $2$ из $2 y + 2 \cdot 10$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (2 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 \cdot 2 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.8.5

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 14 (y + 10)}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.9

Сократим общий множитель $14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.1

Вынесем множитель $2$ из $x \cdot 14 (y + 10)$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.9.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.9.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{2 (x \cdot 7 (y + 10))}{2 (y + 10)}$

Этап 1.2.9.2.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Этап 1.2.10

Сократим общий множитель $y + 10$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.10.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = \frac{x \cdot 7 (y + 10)}{y + 10}$

Этап 1.2.10.2

Разделим $x \cdot 7$ на $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = x \cdot 7$

Этап 1.2.11

Перенесем $7$ влево от $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} \frac{d y}{d x} = 7 x$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = 7 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\sqrt{2 y + 20}} d y = \int 7 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 y + 20$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 y + 20$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $2 y + 20$ .

$\frac{d}{d y} [2 y + 20]$

Этап 2.2.1.1.2

По правилу суммы производная $2 y + 20$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y] + \frac{d}{d y} [20]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [20]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d y} [20]$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$2 + \frac{d}{d y} [20]$

Этап 2.2.1.1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.4.1

Поскольку $20$ является константой относительно $y$ , производная $20$ относительно $y$ равна $0$ .

$2 + 0$

Этап 2.2.1.1.4.2

Добавим $2$ и $0$ .

$2$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u}} \cdot \frac{1}{2} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt{u}}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{1}{\sqrt{u} \cdot 2} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.2.2

Перенесем $2$ влево от $\sqrt{u}$ .

$\int \frac{1}{2 \sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sqrt{u}} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.4

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{u}$ в виде $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} \int \frac{1}{u^{\frac{1}{2}}} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.4.2

Вынесем $u^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} \int {(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.4.3

Перемножим экспоненты в ${(u^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.4.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$\frac{1}{2} \int u^{\frac{- 1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.4.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{2} \int u^{- \frac{1}{2}} d u = \int 7 x d x$

Этап 2.2.5

По правилу степени интеграл $u^{- \frac{1}{2}}$ по $u$ имеет вид $2 u^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}) = \int 7 x d x$

Этап 2.2.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.1

Перепишем $\frac{1}{2} (2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1})$ в виде $\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1}$ .

$\frac{1}{2} \cdot 2 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.2.6.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $2$ .

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.2.6.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.6.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{2} u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.2.6.2.2.2

Перепишем это выражение.

$1 u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.2.6.2.3

Умножим $u^{\frac{1}{2}}$ на $1$ .

$u^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.2.7

Заменим все вхождения $u$ на $2 y + 20$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \int 7 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $7$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $7$ из-под знака интеграла.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $7 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = 7 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Объединим $7$ и $\frac{1}{2}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} + C_{1} = \frac{7}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}} = \frac{7}{2} x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Возведем обе части уравнения в степень $2$ , чтобы исключить дробный показатель в левой части.

${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2

Упростим показатель степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(2 y + 20)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(2 y + 20)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(2 y + 20)}^{1} = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.1.1.2

Упростим.

$2 y + 20 = {(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим ${(\frac{7}{2} x^{2} + K)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Объединим $\frac{7}{2}$ и $x^{2}$ .

$2 y + 20 = {(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$

Этап 3.2.2.1.1.2

Перепишем ${(\frac{7 x^{2}}{2} + K)}^{2}$ в виде $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ .

$2 y + 20 = (\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Развернем $(\frac{7 x^{2}}{2} + K) (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$ , используя метод «первые-внешние-внутренние-последние».

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} (\frac{7 x^{2}}{2} + K) + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2.2

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K (\frac{7 x^{2}}{2} + K)$

Этап 3.2.2.1.2.3

Применим свойство дистрибутивности.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2}}{2} \cdot \frac{7 x^{2}}{2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3

Упростим и объединим подобные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.1

Объединим.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2} (7 x^{2})}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2

Умножим $x^{2}$ на $x^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{7 (x^{2} x^{2}) \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$2 y + 20 = \frac{7 x^{2 + 2} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.2.3

Добавим $2$ и $2$ .

$2 y + 20 = \frac{7 x^{4} \cdot 7}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.3

Умножим $7$ на $7$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{2 \cdot 2} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.4

Умножим $2$ на $2$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2}}{2} K + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.5

Объединим $\frac{7 x^{2}}{2}$ и $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + K \frac{7 x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.6

Объединим $K$ и $\frac{7 x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{K (7 x^{2})}{2} + K (K)$

Этап 3.2.2.1.3.1.7

Перенесем $7$ влево от $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 \cdot K x^{2}}{2} + K \cdot K$

Этап 3.2.2.1.3.1.8

Умножим $K$ на $K$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 x^{2} K}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.3.2

Добавим $\frac{7 x^{2} K}{2}$ и $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.2.1

Перенесем $x^{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.3.2.2

Добавим $\frac{7 K x^{2}}{2}$ и $\frac{7 K x^{2}}{2}$ .

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.4

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 2 \frac{7 K x^{2}}{2} + K^{2}$

Этап 3.2.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$2 y + 20 = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2}$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $20$ из обеих частей уравнения.

$2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$

Этап 3.3.2

Разделим каждый член $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Разделим каждый член $2 y = \frac{49 x^{4}}{4} + 7 K x^{2} + K^{2} - 20$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Этап 3.3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Этап 3.3.2.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\frac{49 x^{4}}{4}}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Этап 3.3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.3.1.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y = \frac{49 x^{4}}{4} \cdot \frac{1}{2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Этап 3.3.2.3.1.2

Объединим.

$y = \frac{49 x^{4} \cdot 1}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Этап 3.3.2.3.1.3

Умножим $49$ на $1$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{4 \cdot 2} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Этап 3.3.2.3.1.4

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} + \frac{- 20}{2}$

Этап 3.3.2.3.1.5

Разделим $- 20$ на $2$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{7 K x^{2}}{2} + \frac{K^{2}}{2} - 10$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $5$ вместо $y$ в $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ .

$5 = \frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$ .

$\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Этап 6.2

Упростим $\frac{49 \cdot 0^{4}}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$\frac{49 \cdot 0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Этап 6.2.1.2

Умножим $49$ на $0$ .

$\frac{0}{8} + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Этап 6.2.1.3

Разделим $0$ на $8$ .

$0 + \frac{K \cdot 0^{2}}{2} + K = 5$

Этап 6.2.1.4

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

$0 + \frac{K \cdot 0}{2} + K = 5$

Этап 6.2.1.5

Умножим $K$ на $0$ .

$0 + \frac{0}{2} + K = 5$

Этап 6.2.1.6

Разделим $0$ на $2$ .

$0 + 0 + K = 5$

Этап 6.2.2

Объединим противоположные члены в $0 + 0 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Добавим $0$ и $0$ .

$0 + K = 5$

Этап 6.2.2.2

Добавим $0$ и $K$ .

$K = 5$

Этап 7

Подставим $5$ вместо $K$ в $y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{K x^{2}}{2} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $5$ вместо $K$ .

$y = \frac{49 x^{4}}{8} + \frac{5 x^{2}}{2} + K$