Математический анализ Примеры

$8 x y^{3} d x + 12 x^{2} y^{2} d y = 0$

Этап 1

Вычтем $8 x y^{3} d x$ из обеих частей уравнения.

$12 x^{2} y^{2} d y = - 8 x y^{3} d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{1}{x^{2} y^{3}} (12 x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$12 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Этап 3.2

Объединим $12$ и $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{3}} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $x^{2} y^{2}$ из $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{x^{2} y^{2} (y)} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{x^{2} y^{2} y} (x^{2} y^{2}) d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{y} d y = \frac{1}{x^{2} y^{3}} (- 8 x y^{3}) d x$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{12}{y} d y = - 8 \frac{1}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Этап 3.5

Объединим $- 8$ и $\frac{1}{x^{2} y^{3}}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x^{2} y^{3}} (x y^{3}) d x$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $x y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Вынесем множитель $x y^{3}$ из $x^{2} y^{3}$ .

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} (x)} (x y^{3}) d x$

Этап 3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x y^{3} x} (x y^{3}) d x$

Этап 3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{12}{y} d y = \frac{- 8}{x} d x$

Этап 3.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{12}{y} d y = - \frac{8}{x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{12}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Поскольку $12$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $12$ из-под знака интеграла.

$12 \int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{8}{x} d x$

Этап 4.2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$12 (\ln (| y |) + C_{1}) = \int - \frac{8}{x} d x$

Этап 4.2.3

Упростим.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{8}{x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{8}{x} d x$

Этап 4.3.2

Поскольку $8$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $8$ из-под знака интеграла.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - (8 \int \frac{1}{x} d x)$

Этап 4.3.3

Умножим $8$ на $- 1$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \int \frac{1}{x} d x$

Этап 4.3.4

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 (\ln (| x |) + C_{2})$

Этап 4.3.5

Упростим.

$12 \ln (| y |) + C_{1} = - 8 \ln (| x |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$12 \ln (| y |) = - 8 \ln (| x |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Упростим $12 \ln (| y |) + 8 \ln (| x |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1.1.1

Упростим $12 \ln (| y |)$ путем переноса $12$ под логарифм.

$\ln ({| y |}^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{12}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (y^{12}) + 8 \ln (| x |) = C$

Этап 5.2.1.1.3

Упростим $8 \ln (| x |)$ путем переноса $8$ под логарифм.

$\ln (y^{12}) + \ln ({| x |}^{8}) = C$

Этап 5.2.1.1.4

Уберем знак модуля в ${| x |}^{8}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (y^{12}) + \ln (x^{8}) = C$

Этап 5.2.1.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (y^{12} x^{8}) = C$

Этап 5.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y^{12} x^{8})} = e^{C}$

Этап 5.4

Перепишем $\ln (y^{12} x^{8}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y^{12} x^{8}$

Этап 5.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Перепишем уравнение в виде $y^{12} x^{8} = e^{C}$ .

$y^{12} x^{8} = e^{C}$

Этап 5.5.2

Разделим каждый член $y^{12} x^{8} = e^{C}$ на $x^{8}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.1

Разделим каждый член $y^{12} x^{8} = e^{C}$ на $x^{8}$ .

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Этап 5.5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1

Сократим общий множитель $x^{8}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{12} x^{8}}{x^{8}} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Этап 5.5.2.2.1.2

Разделим $y^{12}$ на $1$ .

$y^{12} = \frac{e^{C}}{x^{8}}$

Этап 5.5.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$

Этап 5.5.4

Упростим $\pm \sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.1

Перепишем $\sqrt[12]{\frac{e^{C}}{x^{8}}}$ в виде $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{x^{8}}}$

Этап 5.5.4.2

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.2.1

Перепишем $x^{8}$ в виде ${(x^{2})}^{4}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}}$

Этап 5.5.4.2.2

Перепишем $\sqrt[12]{{(x^{2})}^{4}}$ в виде $\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{\sqrt[4]{{(x^{2})}^{4}}}}$

Этап 5.5.4.2.3

Вынесем члены из-под знака корня, предполагая, что вещественные числа являются положительными.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$

Этап 5.5.4.3

Умножим $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Этап 5.5.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[12]{e^{C}}}{\sqrt[3]{x^{2}}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{\sqrt[3]{x^{2}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Этап 5.5.4.4.2

Возведем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в степень $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}$

Этап 5.5.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{1 + 2}}$

Этап 5.5.4.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}}$

Этап 5.5.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{3}$ в виде $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x^{2}}$ в виде $x^{\frac{2}{3}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{{(x^{\frac{2}{3}})}^{3}}$

Этап 5.5.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{3} \cdot 3}}$

Этап 5.5.4.4.5.3

Объединим $\frac{2}{3}$ и $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Этап 5.5.4.4.5.4

Умножим $2$ на $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{6}{3}}}$

Этап 5.5.4.4.5.5

Сократим общий множитель $6$ и $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.5.5.1

Вынесем множитель $3$ из $6$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3}}}$

Этап 5.5.4.4.5.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.4.5.5.2.1

Вынесем множитель $3$ из $3$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 (1)}}}$

Этап 5.5.4.4.5.5.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{3 \cdot 2}{3 \cdot 1}}}$

Этап 5.5.4.4.5.5.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{\frac{2}{1}}}$

Этап 5.5.4.4.5.5.2.4

Разделим $2$ на $1$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} {\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{x^{2}}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{{(x^{2})}^{2}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{2})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{2 \cdot 2}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.2.2

Умножим $2$ на $2$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{4}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.3

Вынесем $x^{3}$ за скобки.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[3]{x^{3} x}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C}} x \sqrt[3]{x}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.5

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.5.1

Перепишем это выражение, используя наименьший общий индекс $12$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.5.5.1.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{x}$ в виде $x^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{1}{3}})}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.5.1.2

Перепишем $x^{\frac{1}{3}}$ в виде $x^{\frac{4}{12}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} x^{\frac{4}{12}})}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.5.1.3

Перепишем $x^{\frac{4}{12}}$ в виде $\sqrt[12]{x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x (\sqrt[12]{e^{C}} \sqrt[12]{x^{4}})}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.5.5.2

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.1

Сократим общий множитель $x$ и $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x^{2}}$

Этап 5.5.4.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.4.6.1.2.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{2}$ .

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Этап 5.5.4.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \pm \frac{x \sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x \cdot x}$

Этап 5.5.4.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$

Этап 5.5.4.6.2

Изменим порядок множителей в $\pm \frac{\sqrt[12]{e^{C} x^{4}}}{x}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Этап 5.5.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Этап 5.5.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Этап 5.5.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} e^{C}}}{x}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$

$y = - \frac{\sqrt[12]{x^{4} C}}{x}$