Математический анализ Примеры

$x y d x + (1 + x) (1 - y) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x y d x$ из обеих частей уравнения.

$(1 + x) (1 - y) d y = - x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(1 + x) y}$ .

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $1 + x$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{1}{(1 + x) (y)} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(1 + x) y} ((1 + x) (1 - y)) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} (1 - y) d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{y}$ на $1 - y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{1}{(1 + x) y} (- x y) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(1 + x) y}$ в числитель.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{(1 + x) y} (x y) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $(1 + x) y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (x y) d x$

Этап 3.4.3

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Этап 3.4.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{y (1 + x)} (y x) d x$

Этап 3.4.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- 1}{1 + x} x d x$

Этап 3.5

Объединим $\frac{- 1}{1 + x}$ и $x$ .

$\frac{1 - y}{y} d y = \frac{- x}{1 + x} d x$

Этап 3.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1 - y}{y} d y = - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1 - y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{1}{y} + \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{1}{y} d y + \int \frac{- y}{y} d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2.3.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\int \frac{1}{y} d y + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} + \int - 1 d y = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} - y + C_{2} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2.6

Упростим.

$\ln (| y |) - y + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.2.7

Изменим порядок членов.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = \int - \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{1 + x} d x$

Этап 4.3.2

Изменим порядок $1$ и $x$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int \frac{x}{x + 1} d x$

Этап 4.3.3

Разделим $x$ на $x + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Подготовим многочлены к делению. Если слагаемые представляют не все экспоненты, добавим отсутствующий член со значением $0$ .

$x$

$1$

$x$

$0$

Этап 4.3.3.2

Разделим член с максимальной степенью в делимом $x$ на член с максимальной степенью в делителе $x$ .

					$1$
	$x$	+	$1$		$x$	+	$0$

Этап 4.3.3.3

Умножим новое частное на делитель.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			+	$x$	+	$1$

Этап 4.3.3.4

Выражение необходимо вычесть из делимого, поэтому изменим все знаки в $x + 1$ .

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$

Этап 4.3.3.5

После изменения знаков добавим последнее делимое из умноженного многочлена, чтобы найти новое делимое.

				$1$
$x$	+	$1$		$x$	+	$0$
			-	$x$	-	$1$
					-	$1$

Этап 4.3.3.6

Окончательный ответ: неполное частное плюс остаток, деленный на делитель.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - \int 1 - \frac{1}{x + 1} d x$

Этап 4.3.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (\int d x + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 4.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} + \int - \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 4.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Этап 4.3.7

Пусть $u = x + 1$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1

Пусть $u = x + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.7.1.1

Дифференцируем $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Этап 4.3.7.1.2

По правилу суммы производная $x + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.7.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.7.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 4.3.7.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 4.3.7.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x + C_{4} - (\ln (| u |) + C_{5}))$

Этап 4.3.9

Упростим.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| u |)) + C_{6}$

Этап 4.3.10

Заменим все вхождения $u$ на $x + 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - (x - \ln (| x + 1 |)) + C_{6}$

Этап 4.3.11

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.1

Применим свойство дистрибутивности.

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x - - \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Этап 4.3.11.2

Умножим $- - \ln (| x + 1 |)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.11.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + 1 \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Этап 4.3.11.2.2

Умножим $\ln (| x + 1 |)$ на $1$ .

$- y + \ln (| y |) + C_{3} = - x + \ln (| x + 1 |) + C_{6}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- y + \ln (| y |) = - x + \ln (| x + 1 |) + C$