Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = \frac{1}{1 + e^{x}}$

Этап 1

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int d x}$

Этап 1.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$e^{x + C}$

Этап 1.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{x}$

Этап 2

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Умножим каждый член на $e^{x}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = e^{x} \frac{1}{1 + e^{x}}$

Этап 2.2

Объединим $e^{x}$ и $\frac{1}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Этап 2.3

Изменим порядок множителей в $e^{x} \frac{d y}{d x} + e^{x} y = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$ .

$e^{x} \frac{d y}{d x} + y e^{x} = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Этап 3

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [e^{x} y] = \frac{e^{x}}{1 + e^{x}}$

Этап 4

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [e^{x} y] d x = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 5

Проинтегрируем левую часть.

$e^{x} y = \int \frac{e^{x}}{1 + e^{x}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Тогда $d u = e^{x} d x$ , следовательно $\frac{1}{e^{x}} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Пусть $u = 1 + e^{x}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Дифференцируем $1 + e^{x}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + e^{x}]$

Этап 6.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + e^{x}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 6.1.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Этап 6.1.1.3

Продифференцируем, используя правило экспоненты, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ имеет вид $a^{x} \ln (a)$ , где $a$ = $e$ .

$0 + e^{x}$

Этап 6.1.1.4

Добавим $0$ и $e^{x}$ .

$e^{x}$

Этап 6.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$e^{x} y = \int \frac{1}{u} d u$

Этап 6.2

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$e^{x} y = \ln (| u |) + C$

Этап 6.3

Заменим все вхождения $u$ на $1 + e^{x}$ .

$e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$

Этап 7

Разделим каждый член $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ на $e^{x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим каждый член $e^{x} y = \ln (| 1 + e^{x} |) + C$ на $e^{x}$ .

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Сократим общий множитель $e^{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{e^{x} y}{e^{x}} = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |)}{e^{x}} + \frac{C}{e^{x}}$

Этап 7.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{\ln (| 1 + e^{x} |) + C}{e^{x}}$