Математический анализ Примеры

$t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d x}{d t} + M (t) x = Q (t)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $t \frac{d x}{d t} + 2 x = 4 e^{t}$ на $t$ .

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t \frac{d x}{d t}}{t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 1.2.2

Разделим $\frac{d x}{d t}$ на $1$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2 x}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 1.3

Вынесем множитель $x$ из $\frac{2 x}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + x \frac{2}{t} = \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 1.4

Изменим порядок $x$ и $\frac{2}{t}$ .

$\frac{d x}{d t} + \frac{2}{t} x = \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (t) d t}$ , где $P (t) = \frac{2}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{2}{t} d t}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{2}{t}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$e^{2 \int \frac{1}{t} d t}$

Этап 2.2.2

Интеграл $\frac{1}{t}$ по $t$ имеет вид $\ln (| t |)$ .

$e^{2 (\ln (| t |) + C)}$

Этап 2.2.3

Упростим.

$e^{2 \ln (| t |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{2 \ln (t)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (t^{2})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$t^{2}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} (\frac{2}{t} x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{2}{t}$ и $x$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t^{2} \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.2.2.2

Сократим общий множитель.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t \cdot t \frac{2 x}{t} = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.2.2.3

Перепишем это выражение.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + t (2 x) = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t^{2} \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $t$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вынесем множитель $t$ из $t^{2}$ .

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.3.2

Сократим общий множитель.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t \cdot t \frac{4 e^{t}}{t}$

Этап 3.3.3

Перепишем это выражение.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = t (4 e^{t})$

Этап 3.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$t^{2} \frac{d x}{d t} + 2 t x = 4 t e^{t}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d t} [t^{2} x] = 4 t e^{t}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d t} [t^{2} x] d t = \int 4 t e^{t} d t$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$t^{2} x = \int 4 t e^{t} d t$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$t^{2} x = 4 \int t e^{t} d t$

Этап 7.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = t$ и $d v = e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - \int e^{t} d t)$

Этап 7.3

Интеграл $e^{t}$ по $t$ имеет вид $e^{t}$ .

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - (e^{t} + C))$

Этап 7.4

Упростим.

$t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ на $t^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $t^{2} x = 4 (t e^{t} - e^{t}) + C$ на $t^{2}$ .

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $t^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{t^{2} x}{t^{2}} = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $x$ на $1$ .

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t})}{t^{2}} + \frac{C}{t^{2}}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$x = \frac{4 (t e^{t} - e^{t}) + C}{t^{2}}$

Этап 8.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$x = \frac{4 (t e^{t}) + 4 (- e^{t}) + C}{t^{2}}$

Этап 8.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$x = \frac{4 t e^{t} - 4 e^{t} + C}{t^{2}}$