Математический анализ Примеры

$2 \frac{d y}{d x} = 4 x e^{- x}$ , $y (0) = 5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$2 d y = 4 x e^{- x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 2 d y = \int 4 x e^{- x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 y + C_{1} = \int 4 x e^{- x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$2 y + C_{1} = 4 \int x e^{- x} d x$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{- x}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int - e^{- x} d x)$

Этап 2.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - - \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + 1 \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.4.2

Умножим $\int e^{- x} d x$ на $1$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int e^{- x} d x)$

Этап 2.3.5

Пусть $u = - x$ . Тогда $d u = - d x$ , следовательно $- d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u = - x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Этап 2.3.5.1.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- x$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Этап 2.3.5.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) + \int - e^{u} d u)$

Этап 2.3.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - \int e^{u} d u)$

Этап 2.3.7

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$

Этап 2.3.8

Перепишем $4 (x (- e^{- x}) - (e^{u} + C_{2}))$ в виде $4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.9

Заменим все вхождения $u$ на $- x$ .

$2 y + C_{1} = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$

Этап 3

Разделим каждый член $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $2 y = 4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K$ на $2$ .

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y}{2} = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x})}{2} + \frac{K}{2}$

Этап 3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \frac{4 (- x e^{- x} - e^{- x}) + K}{2}$

Этап 3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{4 (- x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Этап 3.3.2.2

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{- 4 (x e^{- x}) + 4 (- e^{- x}) + K}{2}$

Этап 3.3.2.3

Умножим $- 1$ на $4$ .

$y = \frac{- 4 x e^{- x} - 4 e^{- x} + K}{2}$

Этап 3.3.3

Упростим с помощью разложения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 x e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - 4 e^{- x} + K}{2}$

Этап 3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 4 e^{- x}$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x}) + K}{2}$

Этап 3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x e^{- x}) - (4 e^{- x})$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) + K}{2}$

Этап 3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)}{2}$

Этап 3.3.3.5

Вынесем множитель $- 1$ из $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x}) - 1 (- K)$ .

$y = \frac{- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Этап 3.3.3.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.6.1

Перепишем $- (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ в виде $- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)$ .

$y = \frac{- 1 (4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K)}{2}$

Этап 3.3.3.6.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - K}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $5$ вместо $y$ в $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ .

$5 = - \frac{4 \cdot 0 e^{- 0} + 4 e^{0} + K}{2}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$ .

$- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2} = 5$

Этап 6.2

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}) = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K)}{2} = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - (4 \cdot (0 e^{- 0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.2

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $0$ .

$- - (4 \cdot (0 e^{0}) + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.2.2

Умножим на ноль.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.1.2.2.1

Умножим $0$ на $e^{0}$ .

$- - (4 \cdot 0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.2.2.2

Умножим $4$ на $0$ .

$- - (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.2.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 (0 + 4 e^{0} + K) = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.2.4

Умножим $0 + 4 e^{0} + K$ на $1$ .

$0 + 4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.1.2.5

Добавим $0$ и $4 e^{0}$ .

$4 e^{0} + K = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1.1.2.1

Любое число в степени $0$ равно $1$ .

$4 \cdot 1 + K = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.1.1.2.2

Умножим $4$ на $1$ .

$4 + K = - 2 \cdot 5$

Этап 6.3.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Умножим $- 2$ на $5$ .

$4 + K = - 10$

Этап 6.4

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

Вычтем $4$ из обеих частей уравнения.

$K = - 10 - 4$

Этап 6.4.2

Вычтем $4$ из $- 10$ .

$K = - 14$

Этап 7

Подставим $- 14$ вместо $K$ в $y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} + K}{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- 14$ вместо $K$ .

$y = - \frac{4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Этап 7.2

Сократим общий множитель $4 x e^{- x} + 4 e^{- x} - 14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4 x e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 4 e^{- x} - 14}{2}$

Этап 7.2.2

Вынесем множитель $2$ из $4 e^{- x}$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x}) - 14}{2}$

Этап 7.2.3

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x e^{- x}) + 2 (2 e^{- x})$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) - 14}{2}$

Этап 7.2.4

Вынесем множитель $2$ из $- 14$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 \cdot - 7}{2}$

Этап 7.2.5

Вынесем множитель $2$ из $2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x}) + 2 (- 7)$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2}$

Этап 7.2.6

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.6.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 (1)}$

Этап 7.2.6.2

Сократим общий множитель.

$y = - \frac{2 (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)}{2 \cdot 1}$

Этап 7.2.6.3

Перепишем это выражение.

$y = - \frac{2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7}{1}$

Этап 7.2.6.4

Разделим $2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7$ на $1$ .

$y = - (2 x e^{- x} + 2 e^{- x} - 7)$

Этап 7.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - (2 x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - (2 e^{- x}) - - 7$

Этап 7.4.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} - - 7$

Этап 7.4.3

Умножим $- 1$ на $- 7$ .

$y = - 2 (x e^{- x}) - 2 e^{- x} + 7$

$y = - 2 x e^{- x} - 2 e^{- x} + 7$