Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{1 + y^{2}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $1 + y^{2}$ .

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $1 + y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = (1 + y^{2}) \frac{1}{1 + y^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(1 + y^{2}) \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(1 + y^{2}) d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int 1 + y^{2} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int d y + \int y^{2} d y = \int d x$

Этап 2.2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} + \int y^{2} d y = \int d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$y + C_{1} + \frac{1}{3} y^{3} + C_{2} = \int d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$y + \frac{1}{3} y^{3} + C_{3} = \int d x$

Этап 2.2.5

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{3} y^{3} + y + C_{3} = x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + y = x + K$