Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 x + 3}{y - 5}$ , $y (0) = 8$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y - 5$ .

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y - 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = (y - 5) \frac{5 x + 3}{y - 5}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$(y - 5) \frac{d y}{d x} = 5 x + 3$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$(y - 5) d y = (5 x + 3) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int y d y + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} + \int - 5 d y = \int 5 x + 3 d x$

Этап 2.2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} - 5 y + C_{2} = \int 5 x + 3 d x$

Этап 2.2.4

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x + 3 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \int 5 x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 \int x d x + \int 3 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + \int 3 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = 5 (\frac{x^{2}}{2} + C_{4}) + 3 x + C_{5}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + C_{6}$

Этап 2.3.5.3

Изменим порядок членов.

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y + C_{3} = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + C_{6}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5}{2} x^{2} + 3 x + K$

Этап 3.2

Объединим $\frac{5}{2}$ и $x^{2}$ .

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y = \frac{5 x^{2}}{2} + 3 x + K$

Этап 3.3

Перенесем все выражения в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Вычтем $\frac{5 x^{2}}{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} = 3 x + K$

Этап 3.3.2

Вычтем $3 x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x = K$

Этап 3.3.3

Вычтем $K$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y^{2}}{2} - 5 y - \frac{5 x^{2}}{2} - 3 x - K = 0$

Этап 3.4

Умножим на наименьшее общее кратное знаменателей $2$ , затем упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.1.1

Сократим общий множитель.

$2 (\frac{y^{2}}{2}) + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.1.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} + 2 (- 5 y) + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.2

Умножим $- 5$ на $2$ .

$y^{2} - 10 y + 2 (- \frac{5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.2.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{5 x^{2}}{2}$ в числитель.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3.2

Сократим общий множитель.

$y^{2} - 10 y + 2 (\frac{- 5 x^{2}}{2}) + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.3.3

Перепишем это выражение.

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} + 2 (- 3 x) + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.4

Умножим $- 3$ на $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x + 2 (- K) = 0$

Этап 3.4.2.5

Умножим $- 1$ на $2$ .

$y^{2} - 10 y - 5 x^{2} - 6 x - 2 K = 0$

Этап 3.4.3

Перенесем $- 10 y$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 6 x - 2 K - 10 y = 0$

Этап 3.4.4

Перенесем $- 6 x$ .

$y^{2} - 5 x^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Этап 3.4.5

Изменим порядок $y^{2}$ и $- 5 x^{2}$ .

$- 5 x^{2} + y^{2} - 2 K - 6 x - 10 y = 0$

Этап 3.5

Используем формулу для нахождения корней квадратного уравнения.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Этап 3.6

Подставим значения $a = 1$ , $b = - 10$ и $c = - 5 x^{2} - 2 K - 6 x$ в формулу для корней квадратного уравнения и решим относительно $y$ .

$\frac{10 \pm \sqrt{{(- 10)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x))}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.1

Возведем $- 10$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot 1 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.2

Умножим $- 4$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 \cdot (- 5 x^{2} - 2 K - 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 - 4 (- 5 x^{2}) - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.4.1

Умножим $- 5$ на $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} - 4 (- 2 K) - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.2

Умножим $- 2$ на $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K - 4 (- 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.4.3

Умножим $- 6$ на $- 4$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5

Вынесем множитель $4$ из $100 + 20 x^{2} + 8 K + 24 x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.5.1

Вынесем множитель $4$ из $100$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 20 x^{2} + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.2

Вынесем множитель $4$ из $20 x^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 8 K + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.3

Вынесем множитель $4$ из $8 K$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 24 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.4

Вынесем множитель $4$ из $24 x$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25) + 4 (5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.5

Вынесем множитель $4$ из $4 (25) + 4 (5 x^{2})$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.6

Вынесем множитель $4$ из $4 (25 + 5 x^{2}) + 4 (2 K)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.5.7

Вынесем множитель $4$ из $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K) + 4 (6 x)$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6

Перепишем $4 (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ в виде $2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1.6.1

Перепишем $4$ в виде $2^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.6.2

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$y = \frac{10 \pm \sqrt{2^{2} (5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x)}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.7

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{5^{2} + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.1.8

Возведем $5$ в степень $2$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2 \cdot 1}$

Этап 3.7.2

Умножим $2$ на $1$ .

$y = \frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$

Этап 3.7.3

Упростим $\frac{10 \pm 2 \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}}{2}$ .

$y = 5 \pm \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Этап 3.8

Окончательный ответ является комбинацией обоих решений.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + 2 K + 6 x}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

$y = 5 - \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$

Этап 5

Так как $y$ принимает положительные значения при начальном условии $(0, 8)$ , рассмотрим $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ , чтобы найти $K$ . Подставим $0$ вместо $x$ , а $8$ вместо $y$ .

$8 = 5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$ .

$5 + \sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8$

Этап 6.2

Перенесем все члены без $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вычтем $5$ из обеих частей уравнения.

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 8 - 5$

Этап 6.2.2

Вычтем $5$ из $8$ .

$\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0} = 3$

Этап 6.3

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в квадрат.

${\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}}^{2} = 3^{2}$

Этап 6.4

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0}$ в виде ${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = 3^{2}$

Этап 6.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1

Упростим ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(25 + 5 \cdot 0^{2} + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.2.1

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(25 + 5 \cdot 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.2.2

Умножим $5$ на $0$ .

${(25 + 0 + K + 6 \cdot 0)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.2.3

Умножим $6$ на $0$ .

${(25 + 0 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.3

Упростим путем добавления членов.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1

Объединим противоположные члены в $25 + 0 + K + 0$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.2.1.3.1.1

Добавим $25$ и $0$ .

${(25 + K + 0)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.3.1.2

Добавим $25 + K$ и $0$ .

${(25 + K)}^{1} = 3^{2}$

Этап 6.4.2.1.3.2

Упростим.

$25 + K = 3^{2}$

Этап 6.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.4.3.1

Возведем $3$ в степень $2$ .

$25 + K = 9$

Этап 6.5

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вычтем $25$ из обеих частей уравнения.

$K = 9 - 25$

Этап 6.5.2

Вычтем $25$ из $9$ .

$K = - 16$

Этап 7

Подставим $- 16$ вместо $K$ в $y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} + K + 6 x}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $- 16$ вместо $K$ .

$y = 5 + \sqrt{25 + 5 x^{2} - 16 + 6 x}$

Этап 7.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.2.1

Вычтем $16$ из $25$ .

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 9 + 6 x}$

Этап 7.2.2

Изменим порядок членов.

$y = 5 + \sqrt{5 x^{2} + 6 x + 9}$