Математический анализ Примеры

$y^{- 1} d y + y e^{\cos (x)} \sin (x) d x = 0$

Этап 1

Вычтем $y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$ из обеих частей уравнения.

$y^{- 1} d y = - y e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} y^{- 1} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.2

Умножим $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим $\frac{1}{y}$ на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y \cdot y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.2.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.2.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{1}{y^{1} y^{1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.2.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{1}{y^{1 + 1}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.2.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{1}{y} (- y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - \frac{1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

Этап 3.4.2

Вынесем множитель $y$ из $y e^{\cos (x)} \sin (x)$ .

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Этап 3.4.3

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{2}} d y = \frac{- 1}{y} (y (e^{\cos (x)} \sin (x))) d x$

Этап 3.4.4

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{2}} d y = - (e^{\cos (x)} \sin (x)) d x$

$\frac{1}{y^{2}} d y = - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{2}} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Вынесем $y^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{2})}^{- 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{2 \cdot - 1} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4.2.1.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int y^{- 2} d y = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 2}$ по $y$ имеет вид $- y^{- 1}$ .

$- y^{- 1} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4.2.3

Перепишем $- y^{- 1} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{y} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int - e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int e^{\cos (x)} \sin (x) d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = \cos (x)$ . Тогда $d u = - \sin (x) d x$ , следовательно $- \frac{1}{\sin (x)} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = \cos (x)$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $\cos (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Этап 4.3.2.1.2

Производная $\cos (x)$ по $x$ равна $- \sin (x)$ .

$- \sin (x)$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - \int - e^{u} d u$

Этап 4.3.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{y} + C_{1} = - - \int e^{u} d u$

Этап 4.3.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = 1 \int e^{u} d u$

Этап 4.3.4.2

Умножим $\int e^{u} d u$ на $1$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = \int e^{u} d u$

Этап 4.3.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{u} + C_{2}$

Этап 4.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $\cos (x)$ .

$- \frac{1}{y} + C_{1} = e^{\cos (x)} + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$y, 1, 1$

Этап 5.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$y$

Этап 5.2

Каждый член в $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ умножим на $y$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{y} = e^{\cos (x)} + K$ на $y$ .

$- \frac{1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Этап 5.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{y}$ в числитель.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Этап 5.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{y} y = e^{\cos (x)} y + K y$

Этап 5.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = e^{\cos (x)} y + K y$

Этап 5.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.2.3.1

Изменим порядок множителей в $e^{\cos (x)} y + K y$ .

$- 1 = y e^{\cos (x)} + K y$

Этап 5.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем уравнение в виде $y e^{\cos (x)} + K y = - 1$ .

$y e^{\cos (x)} + K y = - 1$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель $y$ из $y e^{\cos (x)} + K y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $K y$ .

$y e^{\cos (x)} + y K = - 1$

Этап 5.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $y e^{\cos (x)} + y K$ .

$y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$

Этап 5.3.3

Разделим каждый член $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ на $e^{\cos (x)} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.1

Разделим каждый член $y (e^{\cos (x)} + K) = - 1$ на $e^{\cos (x)} + K$ .

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Этап 5.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1

Сократим общий множитель $e^{\cos (x)} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y (e^{\cos (x)} + K)}{e^{\cos (x)} + K} = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Этап 5.3.3.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 1}{e^{\cos (x)} + K}$

Этап 5.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y = - \frac{1}{e^{\cos (x)} + K}$