Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y = y x e^{x + 2}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = y x e^{x + 2} - y$

Этап 1.2

Вынесем множитель $y$ из $y x e^{x + 2} - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y x e^{x + 2}$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) - y$

Этап 1.2.2

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$

Этап 1.2.3

Вынесем множитель $y$ из $y (x e^{x + 2}) + y \cdot - 1$ .

$\frac{d y}{d x} = y (x e^{x + 2} - 1)$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} (y (x e^{x + 2} - 1))$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = x e^{x + 2} - 1$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = (x e^{x + 2} - 1) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} - 1 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = \int x e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x + 2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{x + 2} d x + \int - 1 d x$

Этап 2.3.3

Пусть $u = x + 2$ . Тогда $d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Пусть $u = x + 2$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1.1

Дифференцируем $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Этап 2.3.3.1.2

По правилу суммы производная $x + 2$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Этап 2.3.3.1.4

Поскольку $2$ является константой относительно $x$ , производная $2$ относительно $x$ равна $0$ .

$1 + 0$

Этап 2.3.3.1.5

Добавим $1$ и $0$ .

$1$

Этап 2.3.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - \int e^{u} d u + \int - 1 d x$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) + \int - 1 d x$

Этап 2.3.5

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - (e^{u} + C_{2}) - x + C_{3}$

Этап 2.3.6

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{u} - x + C_{4}$

Этап 2.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $x + 2$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = x e^{x + 2} - e^{x + 2} - x + C_{4}$

Этап 2.3.8

Изменим порядок членов.

$\ln (| y |) + C_{1} = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| y |)} = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Этап 3.2

Перепишем $\ln (| y |) = e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C} = | y |$

Этап 3.3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$

Этап 3.3.2

Изменим порядок множителей в $e^{e^{x + 2} x - x - e^{x + 2} + C}$ .

$| y | = e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Этап 3.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2} + C}$ в виде $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$ .

$y = \pm e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}} e^{C}$

Этап 4.2

Изменим порядок $e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$ и $e^{C}$ .

$y = \pm e^{C} e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$

Этап 4.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = C e^{x e^{x + 2} - x - e^{x + 2}}$