Математический анализ Примеры

$y \frac{d y}{d x} = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}}$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$y d y = \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int \frac{a}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $a$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $a$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{{(1 + \frac{x}{b})}^{2}} d x$

Этап 2.3.2

Пусть $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Тогда $d u = \frac{1}{b} d x$ , следовательно $b d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Пусть $u = 1 + \frac{x}{b}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Дифференцируем $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{d}{d x} [1 + \frac{x}{b}]$

Этап 2.3.2.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.2.1

По правилу суммы производная $1 + \frac{x}{b}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Этап 2.3.2.1.2.2

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$

Этап 2.3.2.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [\frac{x}{b}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.3.1

Поскольку $\frac{1}{b}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{x}{b}$ по $x$ равна $\frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 + \frac{1}{b} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.2.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{b} \cdot 1$

Этап 2.3.2.1.3.3

Умножим $\frac{1}{b}$ на $1$ .

$0 + \frac{1}{b}$

Этап 2.3.2.1.4

Добавим $0$ и $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{b}$

Этап 2.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{b}} d u$

Этап 2.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} (1 b) d u$

Этап 2.3.3.2

Умножим $b$ на $1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{1}{u^{2}} b d u$

Этап 2.3.3.3

Объединим $\frac{1}{u^{2}}$ и $b$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a \int \frac{b}{u^{2}} d u$

Этап 2.3.4

Поскольку $b$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $b$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a (b \int \frac{1}{u^{2}} d u)$

Этап 2.3.5

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Вынесем $u^{2}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Этап 2.3.5.2

Перемножим экспоненты в ${(u^{2})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Этап 2.3.5.2.2

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b \int u^{- 2} d u$

Этап 2.3.6

По правилу степени интеграл $u^{- 2}$ по $u$ имеет вид $- u^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- u^{- 1} + C_{2})$

Этап 2.3.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.1

Перепишем $a b (- u^{- 1} + C_{2})$ в виде $a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = a b (- \frac{1}{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.7.2.1

Объединим $a$ и $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = b (- \frac{a}{u}) + C_{2}$

Этап 2.3.7.2.2

Объединим $b$ и $\frac{a}{u}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{u} + C_{2}$

Этап 2.3.8

Заменим все вхождения $u$ на $1 + \frac{x}{b}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{b a}{1 + \frac{x}{b}} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b}{b} + \frac{x}{b}} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = 2 (- \frac{b a}{\frac{b + x}{b}} + K)$

Этап 3.2.2.1.1.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$y^{2} = 2 (- (b a \frac{b}{b + x}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3

Умножим $b a \frac{b}{b + x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1.3.1

Объединим $b$ и $\frac{b}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b \cdot b}{b + x}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.2

Возведем $b$ в степень $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b}{b + x}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.3

Возведем $b$ в степень $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1} b^{1}}{b + x}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{1 + 1}}{b + x}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$y^{2} = 2 (- (a \frac{b^{2}}{b + x}) + K)$

Этап 3.2.2.1.1.3.6

Объединим $a$ и $\frac{b^{2}}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Чтобы записать $K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{b + x}{b + x}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{a b^{2}}{b + x} + \frac{K (b + x)}{b + x})$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K (b + x)}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 \frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Объединим $2$ и $\frac{- a b^{2} + K b + K x}{b + x}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- a b^{2} + K b + K x)}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- a b^{2}$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) + K b + K x)}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K b$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2}) - (- K b) + K x)}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a b^{2}) - (- K b)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) + K x)}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5.5

Вынесем множитель $- 1$ из $K x$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b) - (- K x))}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5.6

Вынесем множитель $- 1$ из $- (a b^{2} - K b) - (- K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.7.1

Перепишем $- (a b^{2} - K b - K x)$ в виде $- 1 (a b^{2} - K b - K x)$ .

$y^{2} = \frac{2 (- 1 (a b^{2} - K b - K x))}{b + x}$

Этап 3.2.2.1.5.7.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} - K b - K x)}{b + x}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{2 (a b^{2} + K b + K x)}{b + x}}$