Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + y \tan (x) = \sin (2 x)$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $y \tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + y (\tan (x)) = \sin (2 x)$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} + \tan (x) y = \sin (2 x)$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \tan (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \tan (x) d x}$

Этап 2.2

Интеграл $\tan (x)$ по $x$ имеет вид $\ln (| \sec (x) |)$ .

$e^{\ln (| \sec (x) |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (\sec (x))}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$\sec (x)$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\sec (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{1}{\cos (x)} \frac{d y}{d x} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.2

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \sec (x) (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\tan (x) y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.4

Выразим $\tan (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} y) = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.5

Объединим $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.6

Умножим $\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.6.1

Умножим $\frac{1}{\cos (x)}$ на $\frac{\sin (x) y}{\cos (x)}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.6.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.6.3

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.6.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{{\cos (x)}^{1 + 1}} = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.2.6.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \sec (x) \sin (2 x)$

Этап 3.3

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{1}{\cos (x)} \sin (2 x)$

Этап 3.4

Объединим $\frac{1}{\cos (x)}$ и $\sin (2 x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{\sin (2 x)}{\cos (x)}$

Этап 3.5

Применим формулу двойного угла для синуса.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.6

Сократим общий множитель $\cos (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = \frac{2 \sin (x) \cos (x)}{\cos (x)}$

Этап 3.6.2

Разделим $2 \sin (x)$ на $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 3.7

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.7.1

Разделим дроби.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.2

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{1} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.3

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos^{2} (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.4

Вынесем множитель $\cos (x)$ из $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{\sin (x) y}{\cos (x) \cos (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.5

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.6

Переведем $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ в $\tan (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{\cos (x)} \tan (x) = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.7

Разделим дроби.

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \tan (x) = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.8

Переведем $\frac{1}{\cos (x)}$ в $\sec (x)$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + \frac{y}{1} \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Этап 3.7.9

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Этап 3.8

Изменим порядок множителей в $\frac{d y}{d x} \sec (x) + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$ .

$\sec (x) \frac{d y}{d x} + y \sec (x) \tan (x) = 2 \sin (x)$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\sec (x) y] = 2 \sin (x)$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\sec (x) y] d x = \int 2 \sin (x) d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\sec (x) y = \int 2 \sin (x) d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\sec (x) y = 2 \int \sin (x) d x$

Этап 7.2

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$\sec (x) y = 2 (- \cos (x) + C)$

Этап 7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Упростим.

$\sec (x) y = 2 (- \cos (x)) + C$

Этап 7.3.2

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$

Этап 8

Разделим каждый член $\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$ на $\sec (x)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $\sec (x) y = - 2 \cos (x) + C$ на $\sec (x)$ .

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $\sec (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{\sec (x) y}{\sec (x)} = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{- 2 \cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Разделим дроби.

$y = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sec (x)} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.2

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$y = \frac{- 2}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\frac{1}{\cos (x)}} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos (x) \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.4.1

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos^{1} (x) \cos (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.4.2

Возведем $\cos (x)$ в степень $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x)) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{- 2}{1} {\cos (x)}^{1 + 1} + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.4.4

Добавим $1$ и $1$ .

$y = \frac{- 2}{1} \cos^{2} (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.5

Разделим $- 2$ на $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.6

Разделим дроби.

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\sec (x)}$

Этап 8.3.1.7

Выразим $\sec (x)$ через синусы и косинусы.

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cdot \frac{1}{\frac{1}{\cos (x)}}$

Этап 8.3.1.8

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} (1 \cos (x))$

Этап 8.3.1.9

Умножим $\cos (x)$ на $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + \frac{C}{1} \cos (x)$

Этап 8.3.1.10

Разделим $C$ на $1$ .

$y = - 2 \cos^{2} (x) + C \cos (x)$