Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде функции от $\frac{y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ на $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}} \cdot \frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$

Этап 1.2

Умножим $\frac{x^{2} y}{x^{3} + y^{3}}$ на $\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{(x^{3} + y^{3}) \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{x^{3} \frac{1}{x^{3}} + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + y^{3} \frac{1}{x^{3}}}$

Этап 1.5

Объединим $y^{3}$ и $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Этап 1.6

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.6.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{3}}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Этап 1.6.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} (y) \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Этап 1.6.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} y \frac{1}{x^{2} x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Этап 1.6.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y \frac{1}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Этап 1.7

Объединим $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + \frac{y^{3}}{x^{3}}}$

Этап 1.8

Используем правило частного степеней $\frac{a^{m}}{b^{m}} = {(\frac{a}{b})}^{m}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{x}}{1 + {(\frac{y}{x})}^{3}}$

Этап 2

Пусть $V = \frac{y}{x}$ . Подставим $V$ вместо $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Этап 3

Решим $V = \frac{y}{x}$ относительно $y$ .

$y = V x$

Этап 4

Применим правило умножения, чтобы найти производную $y = V x$ по $x$ .

$\frac{d y}{d x} = x \frac{d V}{d x} + V$

Этап 5

Подставим $x \frac{d V}{d x} + V$ вместо $\frac{d y}{d x}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1 + V^{3}}$

Этап 6

Решим подставленное дифференциальное уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1

Решим относительно $\frac{d V}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{3}$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{1^{3} + V^{3}}$

Этап 6.1.1.1.2

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = 1$ и $b = V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1^{2} - 1 V + V^{2})}$

Этап 6.1.1.1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.1.3.1

Единица в любой степени равна единице.

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - 1 V + V^{2})}$

Этап 6.1.1.1.3.2

Перепишем $- 1 V$ в виде $- V$ .

$x \frac{d V}{d x} + V = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Этап 6.1.1.2

Вычтем $V$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$

Этап 6.1.1.3

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.1

Разделим каждый член $x \frac{d V}{d x} = \frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d V}{d x}}{x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.2.1.2

Разделим $\frac{d V}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x} + \frac{- V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.1

Вынесем множитель $V$ из $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.1.1

Вынесем множитель $V$ из $\frac{V}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - V}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.1.2

Вынесем множитель $V$ из $- V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.1.3

Вынесем множитель $V$ из $V \frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + V \cdot - 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1)}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.2

Чтобы записать $- 1$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} - 1 \cdot \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.3

Объединим $- 1$ и $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V (\frac{1}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} + \frac{- ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - ((1 + V) (1 - V + V^{2}))}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.5.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 \cdot 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 + (- 1 - V) (1 - V + V^{2})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.3

Развернем $(- 1 - V) (1 - V + V^{2})$ , умножив каждый член в первом выражении на каждый член во втором выражении.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 \cdot 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.1

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - 1 (- V) - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.2

Умножим $- 1 (- V)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 1 V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.2.2

Умножим $V$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - 1 V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.3

Перепишем $- 1 V^{2}$ в виде $- V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V \cdot 1 - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - V (- V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.5

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V \cdot V - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.6

Умножим $V$ на $V$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.6.1

Перенесем $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 (V \cdot V) - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.6.2

Умножим $V$ на $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V - 1 \cdot - 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.7

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + 1 V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.8

Умножим $V^{2}$ на $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V \cdot V^{2}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.9

Умножим $V$ на $V^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.9.1

Перенесем $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V)}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2

Умножим $V^{2}$ на $V$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - (V^{2} V^{1})}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.9.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{2 + 1}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.4.9.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.5

Объединим противоположные члены в $- 1 + V - V^{2} - V + V^{2} - V^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.5.5.1

Вычтем $V$ из $V$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + 0 + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.5.2

Добавим $- 1 - V^{2}$ и $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{2} + V^{2} - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.5.3

Добавим $- V^{2}$ и $V^{2}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 + 0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.5.4

Добавим $- 1$ и $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{1 - 1 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.6

Вычтем $1$ из $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{0 - V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.5.7

Вычтем $V^{3}$ из $0$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \frac{- V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d V}{d x} = \frac{V \cdot - 1 \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.7

Объединим показатели степеней.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.7.1

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- (V \frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})})}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.7.2

Объединим $V$ и $\frac{V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V \cdot V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.7.3

Умножим $V$ на $V^{3}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.7.3.1

Умножим $V$ на $V^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.1.3.3.2.7.3.1.1

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1} V^{3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.7.3.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{1 + 3}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.2.7.3.2

Добавим $1$ и $3$ .

$\frac{d V}{d x} = \frac{- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.1.3.3.4

Умножим $\frac{1}{x}$ на $\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})}$ .

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{x (1 + V) (1 - V + V^{2})}$

Этап 6.1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d V}{d x} = - \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 6.1.3

Умножим обе части на $\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (- \frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} (\frac{V^{4}}{(1 + V) (1 - V + V^{2})} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 6.1.4.2

Объединим.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3

Сократим общий множитель $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}}$ в числитель.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- (1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3.2

Вынесем множитель $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ из $- (1 + V) (1 - V + V^{2})$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3.3

Вынесем множитель $(1 + V) (1 - V + V^{2})$ из $(1 + V) (1 - V + V^{2}) x$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (- 1)}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) (x)}$

Этап 6.1.4.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2}) \cdot - 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{(1 + V) (1 - V + V^{2}) x}$

Этап 6.1.4.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Этап 6.1.4.4

Сократим общий множитель $V^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1.4.4.1

Вынесем множитель $V^{4}$ из $V^{4} \cdot 1$ .

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} (1)}{x}$

Этап 6.1.4.4.2

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = \frac{- 1}{V^{4}} \cdot \frac{V^{4} \cdot 1}{x}$

Этап 6.1.4.4.3

Перепишем это выражение.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} \frac{d V}{d x} = - \frac{1}{x}$

Этап 6.1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{(1 + V) (1 - V + V^{2})}{V^{4}} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.1

Вынесем $V^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) {(V^{4})}^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2

Перемножим экспоненты в ${(V^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{4 \cdot - 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int (1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3

Развернем $(1 + V) (1 - V + V^{2}) V^{- 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.3.1

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 (1 - V + V^{2}) + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.2

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 (1 - V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V + V^{2})) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.4

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V (1 - V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.5

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2} + V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.6

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V) + 1 V^{2}) V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.7

Применим свойство дистрибутивности.

$\int (1 \cdot 1 + 1 (- V)) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.8

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V) + V \cdot V^{2}) V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.9

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + (V \cdot 1 + V (- V)) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.10

Применим свойство дистрибутивности.

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 (- V) V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + V \cdot 1 V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.11

Изменим порядок $V$ и $1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} + V (- V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.12

Изменим порядок $V$ и $- 1$ .

$\int 1 \cdot 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 \cdot V \cdot V^{- 4} - 1 \cdot V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.13

Умножим $1$ на $1$ .

$\int 1 V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.14

Умножим $V^{- 4}$ на $1$ .

$\int V^{- 4} + 1 \cdot - 1 V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.15

Умножим $- 1$ на $1$ .

$\int V^{- 4} - V \cdot V^{- 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.16

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int V^{- 4} - (V \cdot V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.17

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\int V^{- 4} - (V^{1} V^{- 4}) + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.18

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 4} - V^{1 - 4} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.19

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + 1 V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.20

Умножим $V^{2}$ на $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2} V^{- 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.21

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{2 - 4} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.22

Вычтем $4$ из $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + 1 V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.23

Умножим $V$ на $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V \cdot V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.24

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1} V^{- 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.25

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{1 - 4} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.26

Вычтем $4$ из $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - 1 V \cdot V \cdot V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.27

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V \cdot V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.28

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.29

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{1} V^{1}) V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.30

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{1 + 1} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.31

Добавим $1$ и $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2} V^{- 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.32

Вынесем за скобки отрицательное значение.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - (V^{2} V^{- 4}) + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.33

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{2 - 4} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.34

Вычтем $4$ из $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V \cdot V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.35

Возведем $V$ в степень $1$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1} V^{2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.36

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{1 + 2} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.37

Добавим $1$ и $2$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3} V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.38

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{3 - 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.39

Вычтем $4$ из $3$ .

$\int V^{- 4} - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.40

Изменим порядок $V^{- 4}$ и $- V^{- 3}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.41

Перенесем $V^{- 4}$ .

$\int - V^{- 3} + V^{- 2} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.42

Изменим порядок $- V^{- 3}$ и $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 3} - V^{- 2} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.43

Изменим порядок $V^{- 3}$ и $- V^{- 2}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 1} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.44

Перенесем $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} - V^{- 2} + V^{- 1} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.45

Изменим порядок $- V^{- 2}$ и $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 4} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.46

Перенесем $V^{- 4}$ .

$\int V^{- 2} - V^{- 3} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.47

Перенесем $- V^{- 3}$ .

$\int V^{- 2} + V^{- 1} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.48

Изменим порядок $V^{- 2}$ и $V^{- 1}$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 2} - V^{- 2} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.49

Вычтем $V^{- 2}$ из $V^{- 2}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.50

Добавим $V^{- 1}$ и $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 3} - V^{- 3} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.51

Вычтем $V^{- 3}$ из $V^{- 3}$ .

$\int V^{- 1} + 0 + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.3.52

Добавим $V^{- 1}$ и $0$ .

$\int V^{- 1} + V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.4

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int V^{- 1} d V + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.5

Интеграл $V^{- 1}$ по $V$ имеет вид $\ln (| V |)$ .

$\ln (| V |) + C_{1} + \int V^{- 4} d V = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.6

По правилу степени интеграл $V^{- 4}$ по $V$ имеет вид $- \frac{1}{3} V^{- 3}$ .

$\ln (| V |) + C_{1} - \frac{1}{3} V^{- 3} + C_{2} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.1

Упростим.

$\ln (| V |) - \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.2.7.2.1

Умножим $\frac{1}{V^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{V^{3} \cdot 3} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.7.2.2

Перенесем $3$ влево от $V^{3}$ .

$\ln (| V |) - \frac{1}{3 V^{3}} + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.2.8

Изменим порядок членов.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = \int - \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \int \frac{1}{x} d x$

Этап 6.2.3.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - (\ln (| x |) + C_{4})$

Этап 6.2.3.3

Упростим.

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) + C_{3} = - \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 6.2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \frac{1}{3 V^{3}} + \ln (| V |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 7

Подставим $\frac{y}{x}$ вместо $V$ .

$- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$

Этап 8

Решим $- \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + \ln (| \frac{y}{x} |) = - \ln (| x |) + C$ относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| \frac{y}{x} |) + \ln (| x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Этап 8.2

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (| \frac{y}{x} | | x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Этап 8.3

Умножим $| \frac{y}{x} | | x |$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Для перемножения модулей следует перемножить члены внутри каждого модуля.

$\ln (| \frac{y}{x} \cdot x |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{y}{x}$ и $x$ .

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Этап 8.4

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Сократим общий множитель.

$\ln (| \frac{y x}{x} |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Этап 8.4.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 {(\frac{y}{x})}^{3}} + C$

Этап 8.5

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Применим правило умножения к $\frac{y}{x}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{3 (\frac{y^{3}}{x^{3}})} + C$

Этап 8.5.2

Объединим $3$ и $\frac{y^{3}}{x^{3}}$ .

$\ln (| y |) = \frac{1}{\frac{3 y^{3}}{x^{3}}} + C$

Этап 8.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (| y |) = 1 (\frac{x^{3}}{3 y^{3}}) + C$

Этап 8.5.4

Умножим $\frac{x^{3}}{3 y^{3}}$ на $1$ .

$\ln (| y |) = \frac{x^{3}}{3 y^{3}} + C$