Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y}$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\frac{y}{2 + 3 y}}{x}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.1.3.2

Умножим $\frac{y}{2 + 3 y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Этап 1.1.3.3

Изменим порядок множителей в $\frac{y}{(2 + 3 y) x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{x (2 + 3 y)}$

Этап 1.2

Перегруппируем множители.

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{2 + 3 y}{y}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} (\frac{y}{2 + 3 y} \cdot \frac{1}{x})$

Этап 1.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Умножим $\frac{y}{2 + 3 y}$ на $\frac{1}{x}$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Этап 1.4.2

Сократим общий множитель $2 + 3 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Вынесем множитель $2 + 3 y$ из $(2 + 3 y) x$ .

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) (x)}$

Этап 1.4.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{2 + 3 y}{y} \cdot \frac{y}{(2 + 3 y) x}$

Этап 1.4.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.4.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y}{x}$

Этап 1.4.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{2 + 3 y}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{x}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{2 + 3 y}{y} d y = \frac{1}{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{2 + 3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int \frac{2}{y} + \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Сократим общий множитель.

$\int \frac{2}{y} d y + \int \frac{3 y}{y} d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.3.2

Разделим $3$ на $1$ .

$\int \frac{2}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$2 \int \frac{1}{y} d y + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + \int 3 d y = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.6

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$2 (\ln (| y |) + C_{1}) + 3 y + C_{2} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$2 \ln (| y |) + 3 y + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.2.8

Изменим порядок членов.

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \int \frac{1}{x} d x$

Этап 2.3

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) + C_{3} = \ln (| x |) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$3 y + 2 \ln (| y |) = \ln (| x |) + C$