Математический анализ Примеры

$x \frac{d y}{d x} = 5 y + 2 x^{3} - x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $5 y$ из обеих частей уравнения.

$x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$

Этап 1.2

Разделим каждый член $x \frac{d y}{d x} - 5 y = 2 x^{3} - x$ на $x$ .

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x \frac{d y}{d x}}{x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.3.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{3}}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Вынесем множитель $x$ из $2 x^{3}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.4.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x^{1}} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.4.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.4.2.3

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{x (2 x^{2})}{x \cdot 1} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.4.2.4

Перепишем это выражение.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = \frac{2 x^{2}}{1} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.4.2.5

Разделим $2 x^{2}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.5

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} + \frac{- x}{x}$

Этап 1.5.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5 y}{x} = 2 x^{2} - 1$

Этап 1.6

Вынесем множитель $y$ из $\frac{- 5 y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{- 5}{x} = 2 x^{2} - 1$

Этап 1.7

Изменим порядок $y$ и $\frac{- 5}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{- 5}{x} y = 2 x^{2} - 1$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{- 5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{- 5}{x} d x}$

Этап 2.2

Проинтегрируем $\frac{- 5}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Разделим дробь на несколько дробей.

$e^{\int - \frac{5}{x} d x}$

Этап 2.2.2

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$e^{- \int \frac{5}{x} d x}$

Этап 2.2.3

Поскольку $5$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$e^{- (5 \int \frac{1}{x} d x)}$

Этап 2.2.4

Умножим $5$ на $- 1$ .

$e^{- 5 \int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2.5

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{- 5 (\ln (| x |) + C)}$

Этап 2.2.6

Упростим.

$e^{- 5 \ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{- 5 \ln (x)}$

Этап 2.4

Применим правило степени для логарифма.

$e^{\ln (x^{- 5})}$

Этап 2.5

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x^{- 5}$

Этап 2.6

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}}$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $\frac{1}{x^{5}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} \frac{d y}{d x} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x^{5}}$ и $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (\frac{- 5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} + \frac{1}{x^{5}} (- \frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} (\frac{5}{x} y) = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2.4

Объединим $\frac{5}{x}$ и $y$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2.5

Умножим $- \frac{1}{x^{5}} \cdot \frac{5 y}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.1

Умножим $\frac{5 y}{x}$ на $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x \cdot x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2.5.2

Умножим $x$ на $x^{5}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1

Умножим $x$ на $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.5.2.1.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1} x^{5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2.5.2.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{1 + 5}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.2.5.2.2

Добавим $1$ и $5$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{1}{x^{5}} (2 x^{2}) + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = 2 \frac{1}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.3.2

Объединим $2$ и $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{5}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.3.3

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{2} x^{3}} x^{2} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{1}{x^{5}} \cdot - 1$

Этап 3.3.4

Объединим $\frac{1}{x^{5}}$ и $- 1$ .

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} + \frac{- 1}{x^{5}}$

Этап 3.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{\frac{d y}{d x}}{x^{5}} - \frac{5 y}{x^{6}} = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] = \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{5}} y] d x = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\frac{1}{x^{5}} y = \int \frac{2}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Вынесем $x^{3}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.3.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{3})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.3.2.2

Умножим $3$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 \int x^{- 3} d x + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.4

По правилу степени интеграл $x^{- 3}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.5.1

Объединим $x^{- 2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.5.2

Перенесем $x^{- 2}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int - \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.6

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int \frac{1}{x^{5}} d x$

Этап 7.7

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.1

Вынесем $x^{5}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int {(x^{5})}^{- 1} d x$

Этап 7.7.2

Перемножим экспоненты в ${(x^{5})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.7.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{5 \cdot - 1} d x$

Этап 7.7.2.2

Умножим $5$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - \int x^{- 5} d x$

Этап 7.8

По правилу степени интеграл $x^{- 5}$ по $x$ имеет вид $- \frac{1}{4} x^{- 4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4} x^{- 4} + C)$

Этап 7.9

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.1.1

Объединим $x^{- 4}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{x^{- 4}}{4} + C)$

Этап 7.9.1.2

Перенесем $x^{- 4}$ в знаменатель, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = 2 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) - (- \frac{1}{4 x^{4}} + C)$

Этап 7.9.2

Упростим.

$\frac{1}{x^{5}} y = \frac{- 1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 7.9.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.9.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} - - \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 7.9.3.2

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + 1 \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 7.9.3.3

Умножим $\frac{1}{4 x^{4}}$ на $1$ .

$\frac{1}{x^{5}} y = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 8

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Перенесем все члены с переменными в левую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1.1

Добавим $\frac{1}{x^{2}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} = \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 8.1.2

Вычтем $\frac{1}{4 x^{4}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} = C$

Этап 8.1.3

Вычтем $C$ из обеих частей уравнения.

$\frac{1}{x^{5}} y + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Этап 8.1.4

Объединим $\frac{1}{x^{5}}$ и $y$ .

$\frac{y}{x^{5}} + \frac{1}{x^{2}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = 0$

Этап 8.2

Перенесем все члены без $y$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Вычтем $\frac{1}{x^{2}}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{y}{x^{5}} - \frac{1}{4 x^{4}} - C = - \frac{1}{x^{2}}$

Этап 8.2.2

Добавим $\frac{1}{4 x^{4}}$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{5}} - C = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}}$

Этап 8.2.3

Добавим $C$ к обеим частям уравнения.

$\frac{y}{x^{5}} = - \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C$

Этап 8.3

Умножим обе части на $x^{5}$ .

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Этап 8.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1

Сократим общий множитель $x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.1.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y}{x^{5}} x^{5} = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Этап 8.4.1.1.2

Перепишем это выражение.

$y = (- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$

Этап 8.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1

Упростим $(- \frac{1}{x^{2}} + \frac{1}{4 x^{4}} + C) x^{5}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - \frac{1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1

Сократим общий множитель $x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{x^{2}}$ в числитель.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} x^{5} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.1.2

Вынесем множитель $x^{2}$ из $x^{5}$ .

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.1.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{- 1}{x^{2}} (x^{2} x^{3}) + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.1.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4 x^{4}} x^{5} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.2

Сократим общий множитель $x^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.4.2.1.2.2.1

Вынесем множитель $x^{4}$ из $4 x^{4}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} x^{5} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.2.2

Вынесем множитель $x^{4}$ из $x^{5}$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.2.3

Сократим общий множитель.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{x^{4} \cdot 4} (x^{4} x) + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.2.4

Перепишем это выражение.

$y = - 1 x^{3} + \frac{1}{4} x + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.2.3

Объединим $\frac{1}{4}$ и $x$ .

$y = - 1 x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.3

Перепишем $- 1 x^{3}$ в виде $- x^{3}$ .

$y = - x^{3} + \frac{x}{4} + C x^{5}$

Этап 8.4.2.1.4

Перенесем $\frac{x}{4}$ .

$y = - x^{3} + C x^{5} + \frac{x}{4}$

Этап 8.4.2.1.5

Изменим порядок $- x^{3}$ и $C x^{5}$ .

$y = C x^{5} - x^{3} + \frac{x}{4}$