Математический анализ Примеры

$x (y d) x + (x^{2} + 1) d y = 0$

Этап 1

Вычтем $x y d x$ из обеих частей уравнения.

$(x^{2} + 1) d y = - x y d x$

Этап 2

Умножим обе части на $\frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Этап 3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Сократим общий множитель $x^{2} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Вынесем множитель $x^{2} + 1$ из $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{(x^{2} + 1) (y)} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Этап 3.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x^{2} + 1) d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Этап 3.1.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (- x y) d x$

Этап 3.2

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 3.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{(x^{2} + 1) y}$ в числитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{(x^{2} + 1) y} (x y) d x$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $(x^{2} + 1) y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (x y) d x$

Этап 3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x y$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Этап 3.3.4

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{y (x^{2} + 1)} (y x) d x$

Этап 3.3.5

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{- 1}{x^{2} + 1} x d x$

Этап 3.4

Объединим $\frac{- 1}{x^{2} + 1}$ и $x$ .

$\frac{1}{y} d y = \frac{- x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{1}{y} d y = - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int - \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{x}{x^{2} + 1} d x$

Этап 4.3.2

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Пусть $u = x^{2} + 1$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 1]$

Этап 4.3.2.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 1$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [1]$

Этап 4.3.2.1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 4.3.2.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 4.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 4.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 4.3.3.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 4.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)$

Этап 4.3.5

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C_{2})$

Этап 4.3.6

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| u |) + C_{2}$

Этап 4.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 1$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C_{2}$

Этап 4.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = - \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 1 |) + C$

Этап 5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Объединим $\ln (| x^{2} + 1 |)$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| y |) = - \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} + C$

Этап 5.2

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.3

Чтобы записать $\ln (| y |)$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$\ln (| y |) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.4

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Объединим $\ln (| y |)$ и $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2}{2} + \frac{\ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.4.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{\ln (| y |) \cdot 2 + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.5

Перенесем $2$ влево от $\ln (| y |)$ .

$\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1

Упростим $\frac{2 \ln (| y |) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.1.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\frac{\ln ({| y |}^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.2

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\frac{\ln (y^{2}) + \ln (| x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6.1.1.3

Используем свойства произведения логарифмов: $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2} = C$

Этап 5.6.1.2

Перепишем $\frac{\ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)}{2}$ в виде $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ .

$\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |) = C$

Этап 5.6.1.3

Упростим $\frac{1}{2} \ln (y^{2} | x^{2} + 1 |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$\ln ({(y^{2} | x^{2} + 1 |)}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.4

Применим правило умножения к $y^{2} | x^{2} + 1 |$ .

$\ln ({(y^{2})}^{\frac{1}{2}} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.5

Перемножим экспоненты в ${(y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.5.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.6.1.5.2.1

Сократим общий множитель.

$\ln (y^{2 (\frac{1}{2})} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.5.2.2

Перепишем это выражение.

$\ln (y^{1} {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.6.1.6

Упростим.

$\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$

Этап 5.7

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}})} = e^{C}$

Этап 5.8

Перепишем $\ln (y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$

Этап 5.9

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.1

Перепишем уравнение в виде $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ .

$y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$

Этап 5.9.2

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.1

Разделим каждый член $y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}} = e^{C}$ на ${| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.9.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.9.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y {| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}} = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 5.9.2.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{e^{C}}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$

Этап 6

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{C}{{| x^{2} + 1 |}^{\frac{1}{2}}}$