Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + \frac{y}{x} = 3 x$

Этап 1

Перепишем дифференциальное уравнение в виде $\frac{d y}{d x} + M (x) y = Q (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вынесем множитель $y$ из $\frac{y}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + y \frac{1}{x} = 3 x$

Этап 1.2

Изменим порядок $y$ и $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d y}{d x} + \frac{1}{x} y = 3 x$

Этап 2

Интегрирующий множитель определяется по формуле $e^{\int P (x) d x}$ , где $P (x) = \frac{1}{x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интегрирование.

$e^{\int \frac{1}{x} d x}$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{x}$ по $x$ имеет вид $\ln (| x |)$ .

$e^{\ln (| x |) + C}$

Этап 2.3

Уберем постоянную интегрирования.

$e^{\ln (x)}$

Этап 2.4

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$x$

Этап 3

Умножим каждый член на интегрирующий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим каждый член на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + x (\frac{1}{x} y) = x (3 x)$

Этап 3.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Объединим $\frac{1}{x}$ и $y$ .

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Этап 3.2.2

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x \frac{d y}{d x} + x \frac{y}{x} = x (3 x)$

Этап 3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x \frac{d y}{d x} + y = x (3 x)$

Этап 3.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x \cdot x$

Этап 3.4

Умножим $x$ на $x$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перенесем $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 (x \cdot x)$

Этап 3.4.2

Умножим $x$ на $x$ .

$x \frac{d y}{d x} + y = 3 x^{2}$

Этап 4

Перепишем левую часть как результат дифференцирования произведения.

$\frac{d}{d x} [x y] = 3 x^{2}$

Этап 5

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{d}{d x} [x y] d x = \int 3 x^{2} d x$

Этап 6

Проинтегрируем левую часть.

$x y = \int 3 x^{2} d x$

Этап 7

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$x y = 3 \int x^{2} d x$

Этап 7.2

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 7.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$x y = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 7.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 7.3.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$x y = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 7.3.2.2.2

Перепишем это выражение.

$x y = 1 x^{3} + C$

Этап 7.3.2.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$x y = x^{3} + C$

Этап 8

Разделим каждый член $x y = x^{3} + C$ на $x$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Разделим каждый член $x y = x^{3} + C$ на $x$ .

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

Сократим общий множитель $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x y}{x} = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.2.1.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{x^{3}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Сократим общий множитель $x^{3}$ и $x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.1

Вынесем множитель $x$ из $x^{3}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1.2.1

Возведем $x$ в степень $1$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.2.2

Вынесем множитель $x$ из $x^{1}$ .

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.2.3

Сократим общий множитель.

$y = \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.2.4

Перепишем это выражение.

$y = \frac{x^{2}}{1} + \frac{C}{x}$

Этап 8.3.1.2.5

Разделим $x^{2}$ на $1$ .

$y = x^{2} + \frac{C}{x}$