Математический анализ Примеры

$(\frac{1}{y}) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = \frac{1}{y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [\frac{1}{y}]$

Этап 1.2

Перепишем $\frac{1}{y}$ в виде $y^{- 1}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [y^{- 1}]$

Этап 1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = - 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - y^{- 2}$

Этап 1.4

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = - \frac{1}{y^{2}}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = - (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [- (3 y - \frac{x}{y^{2}})]$

Этап 2.2

Поскольку $- 1$ является константой относительно $x$ , производная $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ по $x$ равна $- \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [3 y - \frac{x}{y^{2}}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $3 y - \frac{x}{y^{2}}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (\frac{d}{d x} [3 y] + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Этап 2.4

Поскольку $3 y$ является константой относительно $x$ , производная $3 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (0 + \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}])$

Этап 2.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - \frac{d}{d x} [- \frac{x}{y^{2}}]$

Этап 2.6

Поскольку $- \frac{1}{y^{2}}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{y^{2}}$ по $x$ равна $- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = - (- \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.7

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.7.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 1 (\frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x])$

Этап 2.7.2

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.8

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}} \cdot 1$

Этап 2.9

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{y^{2}}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $- \frac{1}{y^{2}}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $\frac{1}{y^{2}}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$- \frac{1}{y^{2}} = \frac{1}{y^{2}}$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $\frac{1}{y^{2}}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M}$

Этап 4.2

Подставим $- \frac{1}{y^{2}}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{M}$

Этап 4.3

Подставим $\frac{1}{y}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $\frac{1}{y}$ вместо $M$ .

$\frac{\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}}{\frac{1}{y}}$

Этап 4.3.2

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$(\frac{1}{y^{2}} - - \frac{1}{y^{2}}) y$

Этап 4.3.3

Умножим $- - \frac{1}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + 1 \frac{1}{y^{2}}) y$

Этап 4.3.3.2

Умножим $\frac{1}{y^{2}}$ на $1$ .

$(\frac{1}{y^{2}} + \frac{1}{y^{2}}) y$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$\frac{1 + 1}{y^{2}} y$

Этап 4.3.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\frac{2}{y^{2}} y$

Этап 4.3.6

Подставим $\frac{1}{y}$ вместо $M$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.6.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Этап 4.3.6.2

Сократим общий множитель.

$\frac{2}{y \cdot y} y$

Этап 4.3.6.3

Перепишем это выражение.

$\frac{2}{y}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial N}{\partial x} - \frac{\partial M}{\partial y}}{M} d y}$ .

$μ (x, y) = e^{\int \frac{2}{y} d y}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int \frac{2}{y} d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{2 \int \frac{1}{y} d y}$

Этап 5.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$μ (x, y) = e^{2 (\ln (| y |) + C)}$

Этап 5.3

Упростим.

$μ (x, y) = e^{2 \ln (| y |)} + C$

Этап 5.4

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Упростим $2 \ln (| y |)$ путем переноса $2$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| y |}^{2})} + C$

Этап 5.4.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| y |}^{2} + C$

Этап 5.4.3

Уберем знак модуля в ${| y |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$μ (x, y) = y^{2} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $\frac{1}{y} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $\frac{1}{y}$ на $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} y^{2} d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Этап 6.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.2.1

Вынесем множитель $y$ из $y^{2}$ .

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Этап 6.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} (y \cdot y) d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Этап 6.2.3

Перепишем это выражение.

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $- (3 y - \frac{x}{y^{2}})$ на $y^{2}$ .

$y d x - (3 y - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Этап 6.4

Применим свойство дистрибутивности.

$y d x + (- (3 y) - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Этап 6.5

Умножим $3$ на $- 1$ .

$y d x + (- 3 y - - \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Этап 6.6

Умножим $- - \frac{x}{y^{2}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y d x + (- 3 y + 1 \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Этап 6.6.2

Умножим $\frac{x}{y^{2}}$ на $1$ .

$y d x + (- 3 y + \frac{x}{y^{2}}) y^{2} d y = 0$

Этап 6.7

Применим свойство дистрибутивности.

$y d x + (- 3 y \cdot y^{2} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Этап 6.8

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.1

Перенесем $y^{2}$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Этап 6.8.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.8.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$y d x + (- 3 (y^{2} y^{1}) + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Этап 6.8.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y d x + (- 3 y^{2 + 1} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Этап 6.8.3

Добавим $2$ и $1$ .

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Этап 6.9

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.9.1

Сократим общий множитель.

$y d x + (- 3 y^{3} + \frac{x}{y^{2}} y^{2}) d y = 0$

Этап 6.9.2

Перепишем это выражение.

$y d x + (- 3 y^{3} + x) d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d x$

Этап 8

Проинтегрируем $M (x, y) = y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = y x + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y x + g (y)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = - 3 y^{3} + x$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y x + g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $y x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Этап 11.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y]$ .

$x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Этап 11.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Этап 11.3.3

Умножим $x$ на $1$ .

$x + \frac{d}{d y} [g (y)] = - 3 y^{3} + x$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$x + \frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x$

Этап 11.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x = - 3 y^{3} + x$

Этап 12

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.1

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + x - x$

Этап 12.1.2

Объединим противоположные члены в $- 3 y^{3} + x - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1.2.1

Вычтем $x$ из $x$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3} + 0$

Этап 12.1.2.2

Добавим $- 3 y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$

Этап 13

Найдем первообразную $- 3 y^{3}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - 3 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - 3 y^{3} d y$

Этап 13.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - 3 y^{3} d y$

Этап 13.3

Поскольку $- 3$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 3$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - 3 \int y^{3} d y$

Этап 13.4

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Этап 13.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.1

Перепишем $- 3 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ в виде $- 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = - 3 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 13.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 13.5.2.1

Объединим $- 3$ и $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{- 3}{4} y^{4} + C$

Этап 13.5.2.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$g (y) = - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Этап 14

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y x + g (y)$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3}{4} y^{4} + C$

Этап 15

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 15.1

Объединим $y^{4}$ и $\frac{3}{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{y^{4} \cdot 3}{4} + C$

Этап 15.2

Перенесем $3$ влево от $y^{4}$ .

$f (x, y) = y x - \frac{3 y^{4}}{4} + C$