Математический анализ Примеры

$\frac{2 d y}{d x} + y = 3$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разложим $\frac{d y}{d x}$ на множители.

$2 \frac{d y}{d x} + y = 3$

Этап 1.2

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вычтем $y$ из обеих частей уравнения.

$2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$

Этап 1.2.2

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.1

Разделим каждый член $2 \frac{d y}{d x} = 3 - y$ на $2$ .

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Этап 1.2.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 \frac{d y}{d x}}{2} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Этап 1.2.2.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} + \frac{- y}{2}$

Этап 1.2.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$

Этап 1.3

Умножим обе части на $\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}}$ .

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Этап 1.4

Сократим общий множитель $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} (\frac{3}{2} - \frac{y}{2})$

Этап 1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} \frac{d y}{d x} = 1$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = 1 d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{\frac{3}{2} - \frac{y}{2}} d y = \int d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{2} d y$ , следовательно $- 2 d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = \frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Дифференцируем $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2} - \frac{y}{2}]$

Этап 2.2.1.1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.2.1

По правилу суммы производная $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{3}{2}] + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Этап 2.2.1.1.2.2

Поскольку $\frac{3}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{3}{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$

Этап 2.2.1.1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [- \frac{y}{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.3.1

Поскольку $- \frac{1}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $- \frac{y}{2}$ по $y$ равна $- \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$ .

$0 - \frac{1}{2} \frac{d}{d y} [y]$

Этап 2.2.1.1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 - \frac{1}{2} \cdot 1$

Этап 2.2.1.1.3.3

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 - \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.1.4

Вычтем $\frac{1}{2}$ из $0$ .

$- \frac{1}{2}$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.2.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{- 1}{- \frac{1}{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.2

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\int - \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.3

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{2}$ .

$\int - \frac{1}{u} (1 \cdot 2) d u = \int d x$

Этап 2.2.2.4

Умножим $2$ на $1$ .

$\int - \frac{1}{u} \cdot 2 d u = \int d x$

Этап 2.2.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$\int - 2 \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.6

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{u}$ .

$\int \frac{- 2}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.2.7

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\int - \frac{2}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{2}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.4

Поскольку $2$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$- (2 \int \frac{1}{u} d u) = \int d x$

Этап 2.2.5

Умножим $2$ на $- 1$ .

$- 2 \int \frac{1}{u} d u = \int d x$

Этап 2.2.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- 2 (\ln (| u |) + C_{1}) = \int d x$

Этап 2.2.7

Упростим.

$- 2 \ln (| u |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.8

Заменим все вхождения $u$ на $\frac{3}{2} - \frac{y}{2}$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.2.9

Изменим порядок членов.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = \int d x$

Этап 2.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) + C_{1} = x + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ на $- 2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = x + C$ на $- 2$ .

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Сократим общий множитель $- 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 \ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)}{- 2} = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 3.1.2.1.2

Разделим $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |)$ на $1$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{1}{2} y |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 3.1.2.2

Объединим $y$ и $\frac{1}{2}$ .

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = \frac{x}{- 2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} + \frac{C}{- 2}$

Этап 3.1.3.1.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |)} = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |) = - \frac{x}{2} - \frac{C}{2}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} = | \frac{3}{2} - \frac{y}{2} |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$| \frac{3}{2} - \frac{y}{2} | = e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$\frac{3}{2} - \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$

Этап 3.4.3

Вычтем $\frac{3}{2}$ из обеих частей уравнения.

$- \frac{y}{2} = \pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2}$

Этап 3.4.4

Умножим обе части уравнения на $- 2$ .

$- 2 (- \frac{y}{2}) = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1

Упростим $- 2 (- \frac{y}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{y}{2}$ в числитель.

$- 2 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.1.1.1.2

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.1.1.1.3

Сократим общий множитель.

$2 \cdot - 1 \frac{- y}{2} = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.1.1.1.4

Перепишем это выражение.

$- - y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.1.1.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1.1.2.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$1 y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.1.1.2.2

Умножим $y$ на $1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1

Упростим $- 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}} - \frac{3}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1.1

Чтобы записать $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.2.1.2

Упростим члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1.2.1

Объединим $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ и $\frac{2}{2}$ .

$y = - 2 (\frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2}{2} - \frac{3}{2})$

Этап 3.4.5.2.1.2.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = - 2 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 3.4.5.2.1.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y = 2 (- 1) \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 3.4.5.2.1.2.3.2

Сократим общий множитель.

$y = 2 \cdot - 1 \frac{(\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3}{2}$

Этап 3.4.5.2.1.2.3.3

Перепишем это выражение.

$y = - ((\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) \cdot 2 - 3)$

Этап 3.4.5.2.1.3

Перенесем $2$ влево от $\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}$ .

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - 3)$

Этап 3.4.5.2.1.4

Упростим путем перемножения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1.4.1

Применим свойство дистрибутивности.

$y = - (2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}})) - - 3$

Этап 3.4.5.2.1.4.2

Умножим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.2.1.4.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) - - 3$

Этап 3.4.5.2.1.4.2.2

Умножим $- 1$ на $- 3$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} - \frac{C}{2}}) + 3$

Этап 3.4.6

Изменим порядок $- \frac{x}{2}$ и $- \frac{C}{2}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{C}{2} - \frac{x}{2}}) + 3$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - 2 (\pm e^{C - \frac{x}{2}}) + 3$

Этап 4.2

Изменим порядок членов.

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2} + C}) + 3$

Этап 4.3

Перепишем $e^{- \frac{x}{2} + C}$ в виде $e^{- \frac{x}{2}} e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{- \frac{x}{2}} e^{C}) + 3$

Этап 4.4

Изменим порядок $e^{- \frac{x}{2}}$ и $e^{C}$ .

$y = - 2 (\pm e^{C} e^{- \frac{x}{2}}) + 3$

Этап 4.5

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - 2 (C e^{- \frac{x}{2}}) + 3$