Математический анализ Примеры

$(2 x y + \sin (x)) d x + (x^{2} + \cos (y)) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y + \sin (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y + \sin (x)]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y + \sin (x)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y] + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \cdot 1 + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $1$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + \frac{d}{d y} [\sin (x)]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.4.1

Поскольку $\sin (x)$ является константой относительно $y$ , производная $\sin (x)$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x + 0$

Этап 1.4.2

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} + \cos (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} + \cos (y)]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} + \cos (y)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Этап 2.4

Поскольку $\cos (y)$ является константой относительно $x$ , производная $\cos (y)$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x + 0$

Этап 2.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x = 2 x$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x = 2 x$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x^{2} + \cos (y) d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = x^{2} + \cos (y)$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int x^{2} d y + \int \cos (y) d y$

Этап 5.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = x^{2} y + C + \int \cos (y) d y$

Этап 5.3

Интеграл $\cos (y)$ по $y$ имеет вид $\sin (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + C + \sin (y) + C$

Этап 5.4

Упростим.

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y + \sin (y) + g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $x^{2} y + \sin (y) + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$y (2 x) + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.3.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$2 y x + \frac{d}{d x} [\sin (y)] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.4

Поскольку $\sin (y)$ является константой относительно $x$ , производная $\sin (y)$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 y x + 0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$2 y x + 0 + \frac{d g}{d x} = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $2 y x$ и $0$ .

$2 y x + \frac{d g}{d x} = 2 x y + \sin (x)$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 2 x y = 2 x y + \sin (x)$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $2 x y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 2 x y + \sin (x) - 2 x y$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $2 x y + \sin (x) - 2 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $2 x y$ из $2 x y$ .

$\frac{d g}{d x} = 0 + \sin (x)$

Этап 9.1.2.2

Добавим $0$ и $\sin (x)$ .

$\frac{d g}{d x} = \sin (x)$

Этап 10

Найдем первообразную $\sin (x)$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \sin (x)$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \sin (x) d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \sin (x) d x$

Этап 10.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$g (x) = - \cos (x) + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) + g (x)$ .

$f (x, y) = x^{2} y + \sin (y) - \cos (x) + C$