Математический анализ Примеры

$(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Разделим каждый член $(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$ на $1 - x^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Разделим каждый член $(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x} = 4 y$ на $1 - x^{2}$ .

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 - x^{2}} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Сократим общий множитель $1 - x^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{(1 - x^{2}) \frac{d y}{d x}}{1 - x^{2}} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Этап 1.1.2.1.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1 - x^{2}}$

Этап 1.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1

Упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.3.1.1

Перепишем $1$ в виде $1^{2}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{1^{2} - x^{2}}$

Этап 1.1.3.1.2

Поскольку оба члена являются полными квадратами, выполним разложение на множители, используя формулу разности квадратов, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , где $a = 1$ и $b = x$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y}$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{4 y}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y} \cdot \frac{y \cdot 4}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y} \frac{d y}{d x} = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y} d y = \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y} d y = \int \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.2

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = \int \frac{4}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $4$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{(1 + x) (1 - x)} d x$

Этап 2.3.2

Запишем дробь, используя разложение на элементарные дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Разложим дробь и умножим на общий знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.1

Для каждого множителя в знаменателе создадим новую дробь, используя множитель в качестве знаменателя, а неизвестное значение — в качестве числителя. Поскольку множитель в знаменателе линейный, поместим одну переменную на его место $A$ .

$\frac{A}{1 + x}$

Этап 2.3.2.1.2

$\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.3

Умножим каждую дробь в уравнении на знаменатель исходного выражения. В этом случае знаменатель равен $(1 + x) (1 - x)$ .

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.4

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$\frac{1 (1 - x)}{1 - x} = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$1 = \frac{(A) (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.6

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1

Сократим общий множитель $1 + x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.1.1

Сократим общий множитель.

$1 = \frac{A (1 + x) (1 - x)}{1 + x} + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.6.1.2

Разделим $(A) (1 - x)$ на $1$ .

$1 = (A) (1 - x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.6.2

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A \cdot 1 + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.6.3

Умножим $A$ на $1$ .

$1 = A + A (- x) + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.6.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.6.5

Сократим общий множитель $1 - x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.6.5.1

Сократим общий множитель.

$1 = A - A x + \frac{(B) (1 + x) (1 - x)}{1 - x}$

Этап 2.3.2.1.6.5.2

Разделим $(B) (1 + x)$ на $1$ .

$1 = A - A x + (B) (1 + x)$

Этап 2.3.2.1.6.6

Применим свойство дистрибутивности.

$1 = A - A x + B \cdot 1 + B x$

Этап 2.3.2.1.6.7

Умножим $B$ на $1$ .

$1 = A - A x + B + B x$

Этап 2.3.2.1.7

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1.7.1

Перенесем $A$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 2.3.2.1.7.2

Изменим порядок $B$ и $x$ .

$1 = A - x A + B + B x$

Этап 2.3.2.1.7.3

Перенесем $B$ .

$1 = A - x A + B x + B$

Этап 2.3.2.1.7.4

Перенесем $A$ .

$1 = - x A + B x + A + B$

Этап 2.3.2.2

Составим уравнения для переменных элементарной дроби и используем их для создания системы уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.2.1

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты $x$ из каждой части уравнения. Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.3.2.2.2

Составим уравнение для переменных элементарной дроби, приравняв коэффициенты членов, не содержащих $x$ . Чтобы уравнение было верным, эквивалентные коэффициенты в каждой части уравнения должны быть равны.

$1 = A + B$

Этап 2.3.2.2.3

Составим систему уравнений, чтобы найти коэффициенты элементарных дробей.

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

$0 = - 1 A + B$

$1 = A + B$

Этап 2.3.2.3

Решим систему уравнений.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1

Решим относительно $A$ в $1 = A + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.1.1

Перепишем уравнение в виде $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.3.2.3.1.2

Вычтем $B$ из обеих частей уравнения.

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 A + B$

Этап 2.3.2.3.2

Заменим все вхождения $A$ на $1 - B$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.1

Заменим все вхождения $A$ в $0 = - 1 A + B$ на $1 - B$ .

$0 = - 1 (1 - B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1

Упростим $- 1 (1 - B) + B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$0 = - 1 \cdot 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.2

Умножим $- 1$ на $1$ .

$0 = - 1 - 1 (- B) + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.3

Умножим $- 1 (- B)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.3.1

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$0 = - 1 + 1 B + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.1.3.2

Умножим $B$ на $1$ .

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + B + B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.2.2.1.2

Добавим $B$ и $B$ .

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

$0 = - 1 + 2 B$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3

Решим относительно $B$ в $0 = - 1 + 2 B$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 1 + 2 B = 0$ .

$- 1 + 2 B = 0$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.2

Добавим $1$ к обеим частям уравнения.

$2 B = 1$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.3

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.3.1

Разделим каждый член $2 B = 1$ на $2$ .

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 B}{2} = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.3.3.2.1.2

Разделим $B$ на $1$ .

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{1}{2}$

$A = 1 - B$

Этап 2.3.2.3.4

Заменим все вхождения $B$ на $\frac{1}{2}$ во всех уравнениях.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.1

Заменим все вхождения $B$ в $A = 1 - B$ на $\frac{1}{2}$ .

$A = 1 - (\frac{1}{2})$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.4.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.2.1

Упростим $1 - (\frac{1}{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.3.4.2.1.1

Запишем $1$ в виде дроби с общим знаменателем.

$A = \frac{2}{2} - \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.4.2.1.2

Объединим числители над общим знаменателем.

$A = \frac{2 - 1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.4.2.1.3

Вычтем $1$ из $2$ .

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

$A = \frac{1}{2}$

$B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.3.5

Перечислим все решения.

$A = \frac{1}{2}, B = \frac{1}{2}$

Этап 2.3.2.4

Заменим каждый коэффициент элементарной дроби в $\frac{A}{1 + x} + \frac{B}{1 - x}$ значениями, найденными для $A$ и $B$ .

$\frac{\frac{1}{2}}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 2.3.2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.5.1

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 + x} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 2.3.2.5.2

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 + x}$ .

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{\frac{1}{2}}{1 - x}$

Этап 2.3.2.5.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - x}$

Этап 2.3.2.5.4

Умножим $\frac{1}{2}$ на $\frac{1}{1 - x}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \int \frac{1}{2 (1 + x)} + \frac{1}{2 (1 - x)} d x$

Этап 2.3.3

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\int \frac{1}{2 (1 + x)} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 2.3.4

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{1 + x} d x + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 2.3.5

Пусть $u_{1} = 1 + x$ . Тогда $d u_{1} = d x$ . Перепишем, используя $u_{1}$ и $d$ $u_{1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Пусть $u_{1} = 1 + x$ . Найдем $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1.1

Дифференцируем $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Этап 2.3.5.1.2

По правилу суммы производная $1 + x$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5.1.3

Поскольку $1$ является константой относительно $x$ , производная $1$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.5.1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$0 + 1$

Этап 2.3.5.1.5

Добавим $0$ и $1$ .

$1$

Этап 2.3.5.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{1}$ и $d u_{1}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 2.3.6

Интеграл $\frac{1}{u_{1}}$ по $u_{1}$ имеет вид $\ln (| u_{1} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \int \frac{1}{2 (1 - x)} d x)$

Этап 2.3.7

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{1}{1 - x} d x)$

Этап 2.3.8

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Тогда $d u_{2} = - d x$ , следовательно $- d u_{2} = d x$ . Перепишем, используя $u_{2}$ и $d$ $u_{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1

Пусть $u_{2} = 1 - x$ . Найдем $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.8.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.3.8.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.3.8.2

Переформулируем задачу с помощью $u_{2}$ и $d u_{2}$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int \frac{- 1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.9

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} \int - \frac{1}{u_{2}} d u_{2})$

Этап 2.3.10

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u_{2}$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}))$

Этап 2.3.11

Интеграл $\frac{1}{u_{2}}$ по $u_{2}$ имеет вид $\ln (| u_{2} |)$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{1}{2} (\ln (| u_{1} |) + C_{2}) + \frac{1}{2} (- (\ln (| u_{2} |) + C_{3})))$

Этап 2.3.12

Упростим.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| u_{1} |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.13

Выполним обратную подстановку для каждой подставленной переменной интегрирования.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.13.1

Заменим все вхождения $u_{1}$ на $1 + x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| u_{2} |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.13.2

Заменим все вхождения $u_{2}$ на $1 - x$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 (\frac{\ln (| 1 + x |)}{2} - \frac{\ln (| 1 - x |)}{2}) + C_{4}$

Этап 2.3.14

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \frac{\ln (| 1 + x |) - \ln (| 1 - x |)}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.14.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 4 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.14.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.14.3.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 (2) \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.14.3.2

Сократим общий множитель.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \cdot 2 \frac{\ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}{2} + C_{4}$

Этап 2.3.14.3.3

Перепишем это выражение.

$\ln (| y |) + C_{1} = 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$\ln (| y |) = 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Перенесем все члены с логарифмами в левую часть уравнения.

$\ln (| y |) - 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}) = C$

Этап 3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим $\ln (| y |) - 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Упростим $- 2 \ln (\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$\ln (| y |) - \ln ({(\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |})}^{2}) = C$

Этап 3.2.1.1.2

Применим правило умножения к $\frac{| 1 + x |}{| 1 - x |}$ .

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{| 1 + x |}^{2}}{{| 1 - x |}^{2}}) = C$

Этап 3.2.1.1.3

Уберем знак модуля в ${| 1 + x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{(1 + x)}^{2}}{{| 1 - x |}^{2}}) = C$

Этап 3.2.1.1.4

Уберем знак модуля в ${| 1 - x |}^{2}$ , поскольку любое число в четной степени всегда положительное.

$\ln (| y |) - \ln (\frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}) = C$

Этап 3.2.1.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием: $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| y |}{\frac{{(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}}) = C$

Этап 3.2.1.3

Умножим числитель на величину, обратную знаменателю.

$\ln (| y | \frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Этап 3.2.1.4

Объединим $| y |$ и $\frac{{(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$ .

$\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$

Этап 3.3

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}})} = e^{C}$

Этап 3.4

Перепишем $\ln (\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}) = C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{C} = \frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}}$

Этап 3.5

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} = e^{C}$

Этап 3.5.2

Умножим обе части на ${(1 + x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Этап 3.5.3

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1

Сократим общий множитель ${(1 + x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.3.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 + x)}^{2}} {(1 + x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Этап 3.5.3.1.2

Перепишем это выражение.

$| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$

Этап 3.5.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1

Разделим каждый член $| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$ на ${(1 - x)}^{2}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.1

Разделим каждый член $| y | {(1 - x)}^{2} = e^{C} {(1 + x)}^{2}$ на ${(1 - x)}^{2}$ .

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.5.4.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.2.1

Сократим общий множитель ${(1 - x)}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.4.1.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{| y | {(1 - x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}} = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.5.4.1.2.1.2

Разделим $| y |$ на $1$ .

$| y | = \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 3.5.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$y = \pm \frac{e^{C} {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \pm \frac{C {(1 + x)}^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$