Математический анализ Примеры

\frac{d y}{d x} = cot (x)

$\frac{d y}{d x} = \cot (x)$ ,

y (- 3) = 7

$y (- 3) = 7$

Этап 1

Перепишем уравнение.

d y = cot (x) d x

$d y = \cot (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

\int d y = \int cot (x) d x

$\int d y = \int \cot (x) d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

y + C_{1} = \int cot (x) d x

$y + C_{1} = \int \cot (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл

cot (x)

$\cot (x)$ по

x

$x$ имеет вид

ln (| sin (x) |)

$\ln (| \sin (x) |)$ .

y + C_{1} = ln (| sin (x) |) + C_{2}

$y + C_{1} = \ln (| \sin (x) |) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как

C

$C$ .

y = ln (| sin (x) |) + C

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

y = ln (| sin (x) |) + C

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение

C

$C$ , подставив

- 3

$- 3$ вместо

x

$x$ и

7

$7$ вместо

y

$y$ в

y = ln (| sin (x) |) + C

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$ .

7 = ln (| sin (- 3) |) + C

$7 = \ln (| \sin (- 3) |) + C$

Этап 4

Решим относительно

C

$C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде

ln (| sin (- 3) |) + C = 7

$\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$ .

ln (| sin (- 3) |) + C = 7

$\ln (| \sin (- 3) |) + C = 7$

Этап 4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Найдем значение

sin (- 3)

$\sin (- 3)$ .

ln (| - 0.05233595 |) + C = 7

$\ln (| - 0.05233595 |) + C = 7$

Этап 4.2.1.2

Абсолютное значение ― это расстояние между числом и нулем. Расстояние между

- 0.05233595

$- 0.05233595$ и

0

$0$ равно

0.05233595

$0.05233595$ .

ln (0.05233595) + C = 7

$\ln (0.05233595) + C = 7$

ln (0.05233595) + C = 7

$\ln (0.05233595) + C = 7$

ln (0.05233595) + C = 7

$\ln (0.05233595) + C = 7$

Этап 4.3

Вычтем

ln (0.05233595)

$\ln (0.05233595)$ из обеих частей уравнения.

C = 7 - ln (0.05233595)

$C = 7 - \ln (0.05233595)$

C = 7 - ln (0.05233595)

$C = 7 - \ln (0.05233595)$

Этап 5

Подставим

7 - ln (0.05233595)

$7 - \ln (0.05233595)$ вместо

C

$C$ в

y = ln (| sin (x) |) + C

$y = \ln (| \sin (x) |) + C$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим

7 - ln (0.05233595)

$7 - \ln (0.05233595)$ вместо

C

$C$ .

y = ln (| sin (x) |) + 7 - ln (0.05233595)

$y = \ln (| \sin (x) |) + 7 - \ln (0.05233595)$

Этап 5.2

Используем формулу разности логарифмов с одинаковым основанием:

{log}_{b} (x) - {log}_{b} (y) = {log}_{b} (\frac{x}{y})

$\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

y = ln (\frac{| sin (x) |}{0.05233595}) + 7

$y = \ln (\frac{| \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Этап 5.3

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Умножим на

1

$1$ .

y = ln (\frac{1 | sin (x) |}{0.05233595}) + 7

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595}) + 7$

Этап 5.3.2

Вынесем множитель

0.05233595

$0.05233595$ из

0.05233595

$0.05233595$ .

y = ln (\frac{1 | sin (x) |}{0.05233595 (1)}) + 7

$y = \ln (\frac{1 | \sin (x) |}{0.05233595 (1)}) + 7$

Этап 5.3.3

Разделим дроби.

y = ln (\frac{1}{0.05233595} \cdot \frac{| sin (x) |}{1}) + 7

$y = \ln (\frac{1}{0.05233595} \cdot \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Этап 5.3.4

Разделим

1

$1$ на

0.05233595

$0.05233595$ .

y = ln (19.1073226 \frac{| sin (x) |}{1}) + 7

$y = \ln (19.1073226 \frac{| \sin (x) |}{1}) + 7$

Этап 5.3.5

Разделим

| sin (x) |

$| \sin (x) |$ на

1

$1$ .

y = ln (19.1073226 | sin (x) |) + 7

$y = \ln (19.1073226 | \sin (x) |) + 7$

y = ln (19.1073226 | sin (x) |) + 7

$y = \ln (19.1073226 | \sin (x) |) + 7$

y = ln (19.1073226 | sin (x) |) + 7

$y = \ln (19.1073226 | \sin (x) |) + 7$