Математический анализ Примеры

$(2 x + y^{3}) d x + (3 x y^{2} - e^{2 y}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x + y^{3}]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x + y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x] + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.3

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [y^{3}]$

Этап 1.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 3 y^{2}$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $3 y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 3 y^{2}$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x y^{2} - e^{2 y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2} - e^{2 y}]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $3 x y^{2} - e^{2 y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 x y^{2}$ по $x$ равна $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Этап 2.3.3

Умножим $3$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + \frac{d}{d x} [- e^{2 y}]$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $- e^{2 y}$ является константой относительно $x$ , производная $- e^{2 y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} + 0$

Этап 2.4.2

Добавим $3 y^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2}$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $3 y^{2}$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$3 y^{2} = 3 y^{2}$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$3 y^{2} = 3 y^{2}$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x + y^{3} d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x + y^{3}$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x d x + \int y^{3} d x$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 \int x d x + \int y^{3} d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int y^{3} d x$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{2} x^{2} + C) + y^{3} x + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{x^{2}}{2} + C) + y^{3} x + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2} + y^{3} x + g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $x^{2} + y^{3} x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.2.2

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [y^{3} x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{3} x]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $y^{3} x$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$0 + x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$0 + x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.3.3

Перенесем $3$ влево от $x$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + 3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $3 x y^{2}$ .

$3 x y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 y^{2} x = 3 x y^{2} - e^{2 y}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $3 y^{2} x$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $3 x y^{2} - e^{2 y} - 3 y^{2} x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Изменим порядок множителей в членах $3 x y^{2}$ и $- 3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 3 y^{2} x - e^{2 y} - 3 y^{2} x$

Этап 9.1.2.2

Вычтем $3 y^{2} x$ из $3 y^{2} x$ .

$\frac{d g}{d y} = 0 - e^{2 y}$

Этап 9.1.2.3

Вычтем $e^{2 y}$ из $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$

Этап 10

Найдем первообразную $- e^{2 y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - e^{2 y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - e^{2 y} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - e^{2 y} d y$

Этап 10.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int e^{2 y} d y$

Этап 10.4

Пусть $u = 2 y$ . Тогда $d u = 2 d y$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1

Пусть $u = 2 y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.4.1.1

Дифференцируем $2 y$ .

$\frac{d}{d y} [2 y]$

Этап 10.4.1.2

Поскольку $2$ является константой относительно $y$ , производная $2 y$ по $y$ равна $2 \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 \frac{d}{d y} [y]$

Этап 10.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Этап 10.4.1.4

Умножим $2$ на $1$ .

$2$

Этап 10.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (y) = - \int e^{u} \frac{1}{2} d u$

Этап 10.5

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{2}$ .

$g (y) = - \int \frac{e^{u}}{2} d u$

Этап 10.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - (\frac{1}{2} \int e^{u} d u)$

Этап 10.7

Избавимся от скобок.

$g (y) = - \frac{1}{2} \int e^{u} d u$

Этап 10.8

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} (e^{u} + C)$

Этап 10.9

Упростим.

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{u} + C$

Этап 10.10

Заменим все вхождения $u$ на $2 y$ .

$g (y) = - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = x^{2} + y^{3} x + g (y)$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{1}{2} e^{2 y} + C$

Этап 12

Объединим $e^{2 y}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x^{2} + y^{3} x - \frac{e^{2 y}}{2} + C$