Математический анализ Примеры

$\frac{x^{2}}{y} = 4 y \frac{d y}{d x}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Поменяем части местами, чтобы получить $\frac{d y}{d x}$ слева.

$4 y \frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y$ .

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Этап 1.3

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Сократим общий множитель.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = y \frac{x^{2}}{y}$

Этап 1.3.2

Перепишем это выражение.

$y (4 y \frac{d y}{d x}) = x^{2}$

Этап 1.4

Избавимся от ненужных скобок.

$y \cdot 4 y \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.5

Перепишем уравнение.

$y \cdot 4 y d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y \cdot 4 y d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Перенесем $4$ влево от $y$ .

$\int 4 \cdot y \cdot y d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.1.2

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int 4 (y^{1} y) d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.1.3

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\int 4 (y^{1} y^{1}) d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.1.4

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\int 4 y^{1 + 1} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.1.5

Добавим $1$ и $1$ .

$\int 4 y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.2

Поскольку $4$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $4$ из-под знака интеграла.

$4 \int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.3

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1}) = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.4.1

Перепишем $4 (\frac{1}{3} y^{3} + C_{1})$ в виде $4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1}$ .

$4 (\frac{1}{3}) y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.2.4.2

Объединим $4$ и $\frac{1}{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{4}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{4}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $\frac{3}{4}$ .

$\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3}) = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $\frac{3}{4} (\frac{4}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{4}{3}$ и $y^{3}$ .

$\frac{3}{4} \cdot \frac{4 y^{3}}{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Объединим.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.3.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 (4 y^{3})}{4 \cdot 3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.3.2

Перепишем это выражение.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 y^{3}}{4} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.4.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $\frac{3}{4} (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{3} = \frac{3}{4} (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = \frac{3}{4} \cdot \frac{x^{3}}{3} + \frac{3}{4} K$

Этап 3.2.2.1.3

Объединим.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3}{4} K$

Этап 3.2.2.1.4

Объединим $\frac{3}{4}$ и $K$ .

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Этап 3.2.2.1.5

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.5.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} = \frac{3 x^{3}}{4 \cdot 3} + \frac{3 K}{4}$

Этап 3.2.2.1.5.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$

Этап 3.4

Упростим $\sqrt[3]{\frac{x^{3}}{4} + \frac{3 K}{4}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$

Этап 3.4.2

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{x^{3} + 3 K}{4}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$

Этап 3.4.3

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Умножим $\frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K}}{\sqrt[3]{4}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{\sqrt[3]{4} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.4.2

Возведем $\sqrt[3]{4}$ в степень $1$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1} {\sqrt[3]{4}}^{2}}$

Этап 3.4.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{1 + 2}}$

Этап 3.4.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{\sqrt[3]{4}}^{3}}$

Этап 3.4.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{3}$ в виде $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{4}$ в виде $4^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{{(4^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.4.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.4.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.4.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4^{1}}$

Этап 3.4.4.5.5

Найдем экспоненту.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} {\sqrt[3]{4}}^{2}}{4}$

Этап 3.4.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{4}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{4^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{4^{2}}}{4}$

Этап 3.4.5.2

Возведем $4$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{16}}{4}$

Этап 3.4.5.3

Перепишем $16$ в виде $2^{3} \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.3.1

Вынесем множитель $8$ из $16$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{8 (2)}}{4}$

Этап 3.4.5.3.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \sqrt[3]{2^{3} \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.5.4

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \frac{\sqrt[3]{x^{3} + 3 K} \cdot 2 \sqrt[3]{2}}{4}$

Этап 3.4.5.5

Объединим, используя правило умножения для радикалов.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.6

Сократим выражение, путем отбрасывания общих множителей.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.1

Вынесем множитель $2$ из $2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{4}$

Этап 3.4.6.1.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.6.1.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.6.1.2.2

Сократим общий множитель.

$y = \frac{2 \sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2 \cdot 2}$

Этап 3.4.6.1.2.3

Перепишем это выражение.

$y = \frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$

Этап 3.4.6.2

Изменим порядок множителей в $\frac{\sqrt[3]{(x^{3} + 3 K) \cdot 2}}{2}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + 3 K)}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{2 (x^{3} + K)}}{2}$