Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = 10 x - 9$ и $y (5) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = (10 x - 9) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 10 x - 9 d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 10 x - 9 d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$y + C_{1} = \int 10 x d x + \int - 9 d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $10$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $10$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 10 \int x d x + \int - 9 d x$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) + \int - 9 d x$

Этап 2.3.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = 10 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Этап 2.3.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$y + C_{1} = 10 (\frac{x^{2}}{2} + C_{2}) - 9 x + C_{3}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

$y + C_{1} = 5 x^{2} - 9 x + C_{4}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $5$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ .

$0 = 5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$ .

$5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Этап 4.2

Упростим $5 \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1

Умножим $5$ на $5^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1

Умножим $5$ на $5^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1.1.1.1

Возведем $5$ в степень $1$ .

$5^{1} \cdot 5^{2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Этап 4.2.1.1.1.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$5^{1 + 2} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Этап 4.2.1.1.2

Добавим $1$ и $2$ .

$5^{3} - 9 \cdot 5 + K = 0$

Этап 4.2.1.2

Возведем $5$ в степень $3$ .

$125 - 9 \cdot 5 + K = 0$

Этап 4.2.1.3

Умножим $- 9$ на $5$ .

$125 - 45 + K = 0$

Этап 4.2.2

Вычтем $45$ из $125$ .

$80 + K = 0$

Этап 4.3

Вычтем $80$ из обеих частей уравнения.

$K = - 80$

Этап 5

Подставим $- 80$ вместо $K$ в $y = 5 x^{2} - 9 x + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $- 80$ вместо $K$ .

$y = 5 x^{2} - 9 x - 80$