Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{8 \sqrt{x}}$ , $y (25) = 0$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int \frac{1}{8 \sqrt{x}} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{8}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{8}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - (\frac{1}{8} \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x)$

Этап 2.3.3

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{x}$ в виде $x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x$

Этап 2.3.3.2

Вынесем $x^{\frac{1}{2}}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x$

Этап 2.3.3.3

Перемножим экспоненты в ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.3.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x$

Этап 2.3.3.3.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 1$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{\frac{- 1}{2}} d x$

Этап 2.3.3.3.3

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \int x^{- \frac{1}{2}} d x$

Этап 2.3.4

По правилу степени интеграл $x^{- \frac{1}{2}}$ по $x$ имеет вид $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.1

Перепишем $- \frac{1}{8} (2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = - \frac{1}{8} \cdot 2 x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y + C_{1} = - 2 (\frac{1}{8}) x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.2

Объединим $- 2$ и $\frac{1}{8}$ .

$y + C_{1} = \frac{- 2}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3

Сократим общий множитель $- 2$ и $8$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$y + C_{1} = \frac{2 (- 1)}{8} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.5.2.3.2.1

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$y + C_{1} = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$y + C_{1} = \frac{- 1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.5.2.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y + C_{1} = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $25$ вместо $x$ и $0$ вместо $y$ в $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ .

$0 = - \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 25^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Перепишем $25$ в виде $5^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + K = 0$

Этап 4.2.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.3.1

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + K = 0$

Этап 4.2.3.2

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{4} \cdot 5^{1} + K = 0$

Этап 4.2.4

Найдем экспоненту.

$- \frac{1}{4} \cdot 5 + K = 0$

Этап 4.2.5

Умножим $- \frac{1}{4} \cdot 5$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.5.1

Умножим $5$ на $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{4}) + K = 0$

Этап 4.2.5.2

Объединим $- 5$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{- 5}{4} + K = 0$

Этап 4.2.6

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{5}{4} + K = 0$

Этап 4.3

Добавим $\frac{5}{4}$ к обеим частям уравнения.

$K = \frac{5}{4}$

Этап 5

Подставим $\frac{5}{4}$ вместо $K$ в $y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{5}{4}$ вместо $K$ .

$y = - \frac{1}{4} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{4}$

Этап 5.2

Объединим $x^{\frac{1}{2}}$ и $\frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{x^{\frac{1}{2}}}{4} + \frac{5}{4}$