Математический анализ Примеры

Solve $\frac{d y}{d x} = (2 - y) \sin (x)$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $\frac{1}{2 - y}$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \sin (x))$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $2 - y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Вынесем множитель $2 - y$ из $(2 - y) \sin (x)$ .

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) (\sin (x)))$

Этап 1.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{2 - y} ((2 - y) \sin (x))$

Этап 1.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{2 - y} \frac{d y}{d x} = \sin (x)$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{2 - y} d y = \sin (x) d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{2 - y} d y = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Пусть $u = 2 - y$ . Тогда $d u = - d y$ , следовательно $- d u = d y$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Пусть $u = 2 - y$ . Найдем $\frac{d u}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1.1

Перепишем.

$\frac{- 1}{1}$

Этап 2.2.1.1.2

Разделим $- 1$ на $1$ .

$- 1$

Этап 2.2.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\int \frac{- 1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.2

Разделим дробь на несколько дробей.

$\int - \frac{1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$- \int \frac{1}{u} d u = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.4

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$- (\ln (| u |) + C_{1}) = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.5

Упростим.

$- \ln (| u |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.2.6

Заменим все вхождения $u$ на $2 - y$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = \int \sin (x) d x$

Этап 2.3

Интеграл $\sin (x)$ по $x$ имеет вид $- \cos (x)$ .

$- \ln (| 2 - y |) + C_{1} = - \cos (x) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C$ .

$- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Разделим каждый член $- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Разделим каждый член $- \ln (| 2 - y |) = - \cos (x) + C$ на $- 1$ .

$\frac{- \ln (| 2 - y |)}{- 1} = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{\ln (| 2 - y |)}{1} = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.2.2

Разделим $\ln (| 2 - y |)$ на $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \frac{- \cos (x)}{- 1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.3.1.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\ln (| 2 - y |) = \frac{\cos (x)}{1} + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.2

Разделим $\cos (x)$ на $1$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) + \frac{C}{- 1}$

Этап 3.1.3.1.3

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{C}{- 1}$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - 1 \cdot C$

Этап 3.1.3.1.4

Перепишем $- 1 \cdot C$ в виде $- C$ .

$\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - C$

Этап 3.2

Чтобы решить относительно $y$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| 2 - y |)} = e^{\cos (x) - C}$

Этап 3.3

Перепишем $\ln (| 2 - y |) = \cos (x) - C$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{\cos (x) - C} = | 2 - y |$

Этап 3.4

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Перепишем уравнение в виде $| 2 - y | = e^{\cos (x) - C}$ .

$| 2 - y | = e^{\cos (x) - C}$

Этап 3.4.2

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$2 - y = \pm e^{\cos (x) - C}$

Этап 3.4.3

Вычтем $2$ из обеих частей уравнения.

$- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$

Этап 3.4.4

Разделим каждый член $- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$ на $- 1$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.1

Разделим каждый член $- y = \pm e^{\cos (x) - C} - 2$ на $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.2.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$\frac{y}{1} = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.2.2

Разделим $y$ на $1$ .

$y = \frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1} + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.4.3.1.1

Вынесем знак минуса из знаменателя $\frac{\pm e^{\cos (x) - C}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot (\pm e^{\cos (x) - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.2

Перепишем $- 1 \cdot (\pm e^{\cos (x) - C})$ в виде $- (\pm e^{\cos (x) - C})$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x) - C}) + \frac{- 2}{- 1}$

Этап 3.4.4.3.1.3

Разделим $- 2$ на $- 1$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x) - C}) + 2$

Этап 4

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Упростим постоянную интегрирования.

$y = - (\pm e^{\cos (x) + C}) + 2$

Этап 4.2

Перепишем $e^{\cos (x) + C}$ в виде $e^{\cos (x)} e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{\cos (x)} e^{C}) + 2$

Этап 4.3

Изменим порядок $e^{\cos (x)}$ и $e^{C}$ .

$y = - (\pm e^{C} e^{\cos (x)}) + 2$

Этап 4.4

Объединим константы с плюсом или минусом.

$y = - (C e^{\cos (x)}) + 2$