Математический анализ Примеры

$x^{3} + 2 y \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Решим относительно $\frac{d y}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.1

Вычтем $x^{3}$ из обеих частей уравнения.

$2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$

Этап 1.1.2

Разделим каждый член $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ на $2 y$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.1

Разделим каждый член $2 y \frac{d y}{d x} = - x^{3}$ на $2 y$ .

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Этап 1.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{2 y \frac{d y}{d x}}{2 y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Этап 1.1.2.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Этап 1.1.2.2.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y \frac{d y}{d x}}{y} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Этап 1.1.2.2.2.2

Разделим $\frac{d y}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{- x^{3}}{2 y}$

Этап 1.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2 y}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y (- \frac{x^{3}}{2 y})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$y \frac{d y}{d x} = - y \frac{x^{3}}{2 y}$

Этап 1.3.2

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.2.1

Вынесем множитель $y$ из $- y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{2 y}$

Этап 1.3.2.2

Вынесем множитель $y$ из $2 y$ .

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

Этап 1.3.2.3

Сократим общий множитель.

$y \frac{d y}{d x} = y \cdot - 1 \frac{x^{3}}{y \cdot 2}$

Этап 1.3.2.4

Перепишем это выражение.

$y \frac{d y}{d x} = - \frac{x^{3}}{2}$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$y d y = - \frac{x^{3}}{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y d y = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = \int - \frac{x^{3}}{2} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \int \frac{x^{3}}{2} d x$

Этап 2.3.2

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - (\frac{1}{2} \int x^{3} d x)$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $- \frac{1}{2} (\frac{1}{4} x^{4} + C_{2})$ в виде $- \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{4} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Умножим $\frac{1}{4}$ на $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{4 \cdot 2} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $4$ на $2$ .

$\frac{1}{2} y^{2} + C_{1} = - \frac{1}{8} x^{4} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{2} y^{2} = - \frac{1}{8} x^{4} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $2$ .

$2 (\frac{1}{2} y^{2}) = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $2 (\frac{1}{2} y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$2 \frac{y^{2}}{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} = 2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $2 (- \frac{1}{8} x^{4} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $x^{4}$ и $\frac{1}{8}$ .

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{2} = 2 (- \frac{x^{4}}{8}) + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{x^{4}}{8}$ в числитель.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{8} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Вынесем множитель $2$ из $8$ .

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 (4)} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.3

Сократим общий множитель.

$y^{2} = 2 \frac{- x^{4}}{2 \cdot 4} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.3.4

Перепишем это выражение.

$y^{2} = \frac{- x^{4}}{4} + 2 K$

Этап 3.2.2.1.4

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{2} = - \frac{x^{4}}{4} + 2 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$

Этап 3.4

Упростим $\pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Чтобы записать $2 K$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + 2 K \cdot \frac{4}{4}}$

Этап 3.4.2

Объединим $2 K$ и $\frac{4}{4}$ .

$y = \pm \sqrt{- \frac{x^{4}}{4} + \frac{2 K \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.3

Объединим числители над общим знаменателем.

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 2 K \cdot 4}{4}}$

Этап 3.4.4

Умножим $4$ на $2$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{- x^{4} + 8 K}{4}}$

Этап 3.4.5

Перепишем $\frac{- x^{4} + 8 K}{4}$ в виде ${(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.5.1

Вынесем полную степень $1^{2}$ из $- x^{4} + 8 K$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{4}}$

Этап 3.4.5.2

Вынесем полную степень $2^{2}$ из $4$ .

$y = \pm \sqrt{\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}}$

Этап 3.4.5.3

Перегруппируем дробь $\frac{1^{2} (- x^{4} + 8 K)}{2^{2} \cdot 1}$ .

$y = \pm \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} (- x^{4} + 8 K)}$

Этап 3.4.6

Вынесем члены из-под знака корня.

$y = \pm \frac{1}{2} \sqrt{- x^{4} + 8 K}$

Этап 3.4.7

Объединим $\frac{1}{2}$ и $\sqrt{- x^{4} + 8 K}$ .

$y = \pm \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Этап 3.5

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.5.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Этап 3.5.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Этап 3.5.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + 8 K}}{2}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$

$y = - \frac{\sqrt{- x^{4} + K}}{2}$