Математический анализ Примеры

$x (2 x^{2} + y^{2}) d x + y (x^{2} + 2 y^{2}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x (2 x^{2} + y^{2})]$

Этап 1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x (2 x^{2} + y^{2})$ по $y$ равна $x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [2 x^{2} + y^{2}]$

Этап 1.3

По правилу суммы производная $2 x^{2} + y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (\frac{d}{d y} [2 x^{2}] + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 1.4

Поскольку $2 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $2 x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (0 + \frac{d}{d y} [y^{2}])$

Этап 1.5

Добавим $0$ и $\frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.6

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = x (2 y)$

Этап 1.7

Перенесем $2$ влево от $x$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [y (x^{2} + 2 y^{2})]$

Этап 2.2

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $y (x^{2} + 2 y^{2})$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2} + 2 y^{2}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $x^{2} + 2 y^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Этап 2.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + \frac{d}{d x} [2 y^{2}])$

Этап 2.5

Поскольку $2 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $2 y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x + 0)$

Этап 2.6

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.6.1

Добавим $2 x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x)$

Этап 2.6.2

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 \cdot y x$

Этап 2.6.3

Изменим порядок множителей в $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $2 x y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$2 x y = 2 x y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$2 x y = 2 x y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int x (2 x^{2} + y^{2}) d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = x (2 x^{2} + y^{2})$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Развернем $x (2 x^{2} + y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1.1

Применим свойство дистрибутивности.

$f (x, y) = \int x (2 x^{2}) + x y^{2} d x$

Этап 5.1.2

Избавимся от скобок.

$f (x, y) = \int x \cdot 2 x^{2} + x y^{2} d x$

Этап 5.1.3

Изменим порядок $x$ и $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x \cdot x^{2} + x y^{2} d x$

Этап 5.1.4

Возведем $x$ в степень $1$ .

$f (x, y) = \int 2 (x^{1} x^{2}) + x y^{2} d x$

Этап 5.1.5

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$f (x, y) = \int 2 x^{1 + 2} + x y^{2} d x$

Этап 5.1.6

Добавим $1$ и $2$ .

$f (x, y) = \int 2 x^{3} + x y^{2} d x$

Этап 5.2

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Этап 5.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 \int x^{3} d x + \int x y^{2} d x$

Этап 5.4

По правилу степени интеграл $x^{3}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{4} x^{4}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + \int x y^{2} d x$

Этап 5.5

Поскольку $y^{2}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $y^{2}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} \int x d x$

Этап 5.6

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4} x^{4} + C) + y^{2} (\frac{1}{2} x^{2} + C)$

Этап 5.7

Упростим.

$f (x, y) = 2 (\frac{1}{4}) x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.8

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$f (x, y) = \frac{2}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.8.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (1)}{4} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.8.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.8.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.8.2.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.8.2.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + y^{2} \frac{1}{2} x^{2} + C$

Этап 5.8.3

Объединим $y^{2}$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + C$

Этап 5.8.4

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + C$

Этап 5.9

Изменим порядок членов.

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.2.1

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.2.2

Поскольку $\frac{1}{2} x^{4}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{1}{2} x^{4}$ относительно $y$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [\frac{1}{2} y^{2} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2}}{2} x^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3.2

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{y^{2} x^{2}}{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3.3

Поскольку $\frac{x^{2}}{2}$ является константой относительно $y$ , производная $\frac{y^{2} x^{2}}{2}$ по $y$ равна $\frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} \frac{d}{d y} [y^{2}] + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3.4

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$0 + \frac{x^{2}}{2} (2 y) + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3.5

Объединим $2$ и $\frac{x^{2}}{2}$ .

$0 + \frac{2 x^{2}}{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3.6

Объединим $\frac{2 x^{2}}{2}$ и $y$ .

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3.7

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.7.1

Сократим общий множитель.

$0 + \frac{2 x^{2} y}{2} + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.3.7.2

Разделим $x^{2} y$ на $1$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d}{d y} [g (y)] = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$0 + x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.5.1

Добавим $0$ и $x^{2} y$ .

$x^{2} y + \frac{d g}{d y} = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 8.5.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Упростим $y (x^{2} + 2 y^{2})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.1

Перепишем.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = 0 + 0 + y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 9.1.1.2

Упростим путем добавления нулей.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y (x^{2} + 2 y^{2})$

Этап 9.1.1.3

Применим свойство дистрибутивности.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + y (2 y^{2})$

Этап 9.1.1.4

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y \cdot y^{2}$

Этап 9.1.1.5

Умножим $y$ на $y^{2}$ , сложив экспоненты.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.5.1

Перенесем $y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y)$

Этап 9.1.1.5.2

Умножим $y^{2}$ на $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1.5.2.1

Возведем $y$ в степень $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 (y^{2} y^{1})$

Этап 9.1.1.5.2.2

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{2 + 1}$

Этап 9.1.1.5.3

Добавим $2$ и $1$ .

$\frac{d g}{d y} + x^{2} y = y x^{2} + 2 y^{3}$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $x^{2} y$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$

Этап 9.1.2.2

Объединим противоположные члены в $y x^{2} + 2 y^{3} - x^{2} y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Изменим порядок множителей в членах $y x^{2}$ и $- x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = x^{2} y + 2 y^{3} - x^{2} y$

Этап 9.1.2.2.2

Вычтем $x^{2} y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3} + 0$

Этап 9.1.2.2.3

Добавим $2 y^{3}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$

Этап 10

Найдем первообразную $2 y^{3}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = 2 y^{3}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int 2 y^{3} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int 2 y^{3} d y$

Этап 10.3

Поскольку $2$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$g (y) = 2 \int y^{3} d y$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $2 (\frac{1}{4} y^{4} + C)$ в виде $2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$ .

$g (y) = 2 (\frac{1}{4}) y^{4} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $2$ и $\frac{1}{4}$ .

$g (y) = \frac{2}{4} y^{4} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ и $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$g (y) = \frac{2 (1)}{4} y^{4} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $4$ .

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Этап 10.5.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$g (y) = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2} y^{4} + C$

Этап 10.5.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$g (y) = \frac{1}{2} y^{4} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + g (y)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} x^{4} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Этап 12

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{1}{2} y^{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Этап 12.2

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2}}{2} x^{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Этап 12.3

Объединим $\frac{y^{2}}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{1}{2} y^{4} + C$

Этап 12.4

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{4}$ .

$f (x, y) = \frac{x^{4}}{2} + \frac{y^{2} x^{2}}{2} + \frac{y^{4}}{2} + C$