Математический анализ Примеры

$(3 x^{2} + 7 y^{2}) d x + 14 x (y d) y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 3 x^{2} + 7 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2} + 7 y^{2}]$

Этап 1.2

Продифференцируем.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

По правилу суммы производная $3 x^{2} + 7 y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [3 x^{2}] + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Этап 1.2.2

Поскольку $3 x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $3 x^{2}$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + \frac{d}{d y} [7 y^{2}]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [7 y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $7$ является константой относительно $y$ , производная $7 y^{2}$ по $y$ равна $7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 \frac{d}{d y} [y^{2}]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 7 (2 y)$

Этап 1.3.3

Умножим $2$ на $7$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0 + 14 y$

Этап 1.4

Добавим $0$ и $14 y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 14 y$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 14 x y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [14 x y]$

Этап 2.2

Поскольку $14 y$ является константой относительно $x$ , производная $14 x y$ по $x$ равна $14 y \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y \cdot 1$

Этап 2.4

Умножим $14$ на $1$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 14 y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $14 y$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $14 y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$14 y = 14 y$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$14 y = 14 y$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 14 x y d y$

Этап 5

Проинтегрируем $N (x, y) = 14 x y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $14 x$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $14 x$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 14 x \int y d y$

Этап 5.2

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = 14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$

Этап 5.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.1

Перепишем $14 x (\frac{1}{2} y^{2} + C)$ в виде $14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$ .

$f (x, y) = 14 x \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 5.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.1

Объединим $14$ и $\frac{1}{2}$ .

$f (x, y) = x \frac{14}{2} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.2

Объединим $x$ и $\frac{14}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{x \cdot 14}{2} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.3

Перенесем $14$ влево от $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 \cdot x}{2} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.4

Умножим $14$ на $x$ .

$f (x, y) = \frac{14 x}{2} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.5

Сократим общий множитель $14$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.1

Вынесем множитель $2$ из $14 x$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.5.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.3.2.5.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 (1)} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.5.2.2

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{2 (7 x)}{2 \cdot 1} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.5.2.3

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{7 x}{1} y^{2} + C$

Этап 5.3.2.5.2.4

Разделим $7 x$ на $1$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2} + g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $7 x y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [7 x y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [7 x y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $7 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $7 x y^{2}$ по $x$ равна $7 y^{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$7 y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$7 y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 8.3.3

Умножим $7$ на $1$ .

$7 y^{2} + \frac{d}{d x} [g (x)] = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 8.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$7 y^{2} + \frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 8.5

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d x} + 7 y^{2} = 3 x^{2} + 7 y^{2}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d x}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Вычтем $7 y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$

Этап 9.1.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} + 7 y^{2} - 7 y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $7 y^{2}$ из $7 y^{2}$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2} + 0$

Этап 9.1.2.2

Добавим $3 x^{2}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$

Этап 10

Найдем первообразную $3 x^{2}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = 3 x^{2}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int 3 x^{2} d x$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int 3 x^{2} d x$

Этап 10.3

Поскольку $3$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $3$ из-под знака интеграла.

$g (x) = 3 \int x^{2} d x$

Этап 10.4

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$

Этап 10.5

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.1

Перепишем $3 (\frac{1}{3} x^{3} + C)$ в виде $3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$ .

$g (x) = 3 (\frac{1}{3}) x^{3} + C$

Этап 10.5.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.1

Объединим $3$ и $\frac{1}{3}$ .

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 10.5.2.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$g (x) = \frac{3}{3} x^{3} + C$

Этап 10.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$g (x) = 1 x^{3} + C$

Этап 10.5.2.3

Умножим $x^{3}$ на $1$ .

$g (x) = x^{3} + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = 7 x y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = 7 x y^{2} + x^{3} + C$