Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + x e^{x} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $x e^{x}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - x e^{x}$

Этап 1.2

Перепишем уравнение.

$d y = - x e^{x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int - x e^{x} d x$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int - x e^{x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = - \int x e^{x} d x$

Этап 2.3.2

Проинтегрируем по частям, используя формулу $\int u d v = u v - \int v d u$ , где $u = x$ и $d v = e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - \int e^{x} d x)$

Этап 2.3.3

Интеграл $e^{x}$ по $x$ имеет вид $e^{x}$ .

$y + C_{1} = - (x e^{x} - (e^{x} + C_{2}))$

Этап 2.3.4

Упростим.

$y + C_{1} = - (x e^{x} - e^{x}) + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = - (x e^{x} - e^{x}) + K$