Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{3}$ .

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = y^{3} \frac{e^{4 x}}{y^{3}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} \frac{d y}{d x} = e^{4 x}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{3} d y = e^{4 x} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{3} d y = \int e^{4 x} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{3}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{4} y^{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{4 x} d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Пусть $u = 4 x$ . Тогда $d u = 4 d x$ , следовательно $\frac{1}{4} d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1

Пусть $u = 4 x$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1.1.1

Дифференцируем $4 x$ .

$\frac{d}{d x} [4 x]$

Этап 2.3.1.1.2

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4 x$ по $x$ равна $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Этап 2.3.1.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Этап 2.3.1.1.4

Умножим $4$ на $1$ .

$4$

Этап 2.3.1.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int e^{u} \frac{1}{4} d u$

Этап 2.3.2

Объединим $e^{u}$ и $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \int \frac{e^{u}}{4} d u$

Этап 2.3.3

Поскольку $\frac{1}{4}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{4}$ из-под знака интеграла.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} \int e^{u} d u$

Этап 2.3.4

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} (e^{u} + C_{2})$

Этап 2.3.5

Упростим.

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{u} + C_{2}$

Этап 2.3.6

Заменим все вхождения $u$ на $4 x$ .

$\frac{1}{4} y^{4} + C_{1} = \frac{1}{4} e^{4 x} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{4} y^{4} = \frac{1}{4} e^{4 x} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $4$ .

$4 (\frac{1}{4} y^{4}) = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} y^{4})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $y^{4}$ .

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$4 \frac{y^{4}}{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{4} = 4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $4 (\frac{1}{4} e^{4 x} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{4}$ и $e^{4 x}$ .

$y^{4} = 4 (\frac{e^{4 x}}{4} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{4} = 4 \frac{e^{4 x}}{4} + 4 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{4} = e^{4 x} + 4 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \pm \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Этап 3.4

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.4.1

Сначала с помощью положительного значения $\pm$ найдем первое решение.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Этап 3.4.2

Затем, используя отрицательное значение $\pm$ , найдем второе решение.

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Этап 3.4.3

Полное решение является результатом как положительных, так и отрицательных частей решения.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + 4 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$

$y = - \sqrt[4]{e^{4 x} + K}$