Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2}}{y^{2}}$ , $y (0) = 2$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Умножим обе части на $y^{2}$ .

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Этап 1.2

Сократим общий множитель $y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.2.1

Сократим общий множитель.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = y^{2} \frac{x^{2}}{y^{2}}$

Этап 1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{2} \frac{d y}{d x} = x^{2}$

Этап 1.3

Перепишем уравнение.

$y^{2} d y = x^{2} d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int y^{2} d y = \int x^{2} d x$

Этап 2.2

По правилу степени интеграл $y^{2}$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{3} y^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \int x^{2} d x$

Этап 2.3

По правилу степени интеграл $x^{2}$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} y^{3} + C_{1} = \frac{1}{3} x^{3} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$\frac{1}{3} y^{3} = \frac{1}{3} x^{3} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Умножим обе части уравнения на $3$ .

$3 (\frac{1}{3} y^{3}) = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2

Упростим обе части уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} y^{3})$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $y^{3}$ .

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

$3 \frac{y^{3}}{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = 3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$

Этап 3.2.2

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Упростим $3 (\frac{1}{3} x^{3} + K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Объединим $\frac{1}{3}$ и $x^{3}$ .

$y^{3} = 3 (\frac{x^{3}}{3} + K)$

Этап 3.2.2.1.2

Применим свойство дистрибутивности.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.3.1

Сократим общий множитель.

$y^{3} = 3 \frac{x^{3}}{3} + 3 K$

Этап 3.2.2.1.3.2

Перепишем это выражение.

$y^{3} = x^{3} + 3 K$

Этап 3.3

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 3 K}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$

Этап 5

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $0$ вместо $x$ и $2$ вместо $y$ в $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ .

$2 = \sqrt[3]{0^{3} + K}$

Этап 6

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Перепишем уравнение в виде $\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$ .

$\sqrt[3]{0^{3} + K} = 2$

Этап 6.2

Чтобы избавиться от радикала в левой части уравнения, возведем обе части уравнения в куб.

${\sqrt[3]{0^{3} + K}}^{3} = 2^{3}$

Этап 6.3

Упростим каждую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{0^{3} + K}$ в виде ${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}}$ .

${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 2^{3}$

Этап 6.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1

Упростим ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1

Перемножим экспоненты в ${({(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 6.3.2.1.1.2

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.2.1.1.2.1

Сократим общий множитель.

${(0^{3} + K)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 2^{3}$

Этап 6.3.2.1.1.2.2

Перепишем это выражение.

${(0^{3} + K)}^{1} = 2^{3}$

Этап 6.3.2.1.2

Возведение $0$ в любую положительную степень дает $0$ .

${(0 + K)}^{1} = 2^{3}$

Этап 6.3.2.1.3

Добавим $0$ и $K$ .

$K^{1} = 2^{3}$

Этап 6.3.2.1.4

Упростим.

$K = 2^{3}$

Этап 6.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.3.3.1

Возведем $2$ в степень $3$ .

$K = 8$

Этап 7

Подставим $8$ вместо $K$ в $y = \sqrt[3]{x^{3} + K}$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.1

Подставим $8$ вместо $K$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 8}$

Этап 7.2

Перепишем $8$ в виде $2^{3}$ .

$y = \sqrt[3]{x^{3} + 2^{3}}$

Этап 7.3

Поскольку оба члена являются полными кубами, выполним разложение на множители, используя формулу суммы кубов, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ , где $a = x$ и $b = 2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - x \cdot 2 + 2^{2})}$

Этап 7.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 7.4.1

Умножим $2$ на $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 2^{2})}$

Этап 7.4.2

Возведем $2$ в степень $2$ .

$y = \sqrt[3]{(x + 2) (x^{2} - 2 x + 4)}$