Математический анализ Примеры

$4 \frac{d^{2} y}{d x^{2}} + \frac{d y}{d x} = 0$

Этап 1

Пусть $v = \frac{d y}{d x}$ . Тогда $\frac{d v}{d x} = \frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ . Подставим $v$ вместо $\frac{d y}{d x}$ и $\frac{d v}{d x}$ вместо $\frac{d^{2} y}{d x^{2}}$ , чтобы получить дифференциальное уравнение с зависимой переменной $v$ и независимой переменной $x$ .

$4 \frac{d v}{d x} + v = 0$

Этап 2

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Решим относительно $\frac{d v}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.1

Вычтем $v$ из обеих частей уравнения.

$4 \frac{d v}{d x} = - v$

Этап 2.1.2

Разделим каждый член $4 \frac{d v}{d x} = - v$ на $4$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.1

Разделим каждый член $4 \frac{d v}{d x} = - v$ на $4$ .

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Этап 2.1.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1

Сократим общий множитель $4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{4 \frac{d v}{d x}}{4} = \frac{- v}{4}$

Этап 2.1.2.2.1.2

Разделим $\frac{d v}{d x}$ на $1$ .

$\frac{d v}{d x} = \frac{- v}{4}$

Этап 2.1.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1.2.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$\frac{d v}{d x} = - \frac{v}{4}$

Этап 2.2

Умножим обе части на $\frac{1}{v}$ .

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{1}{v} (- \frac{v}{4})$

Этап 2.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Этап 2.3.2

Сократим общий множитель $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.2.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{v}$ в числитель.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Этап 2.3.2.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = \frac{- 1}{v} \cdot \frac{v}{4}$

Этап 2.3.2.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{v} \frac{d v}{d x} = - \frac{1}{4}$

Этап 2.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{v} d v = - \frac{1}{4} d x$

Этап 3

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{v} d v = \int - \frac{1}{4} d x$

Этап 3.2

Интеграл $\frac{1}{v}$ по $v$ имеет вид $\ln (| v |)$ .

$\ln (| v |) + C_{1} = \int - \frac{1}{4} d x$

Этап 3.3

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$\ln (| v |) + C_{1} = - \frac{1}{4} x + C_{2}$

Этап 3.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $C_{3}$ .

$\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$

Этап 4

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Чтобы решить относительно $v$ , перепишем уравнение, используя свойства логарифмов.

$e^{\ln (| v |)} = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Этап 4.2

Перепишем $\ln (| v |) = - \frac{1}{4} x + C_{3}$ в экспоненциальной форме, используя определение логарифма. Если $x$ и $b$ — положительные вещественные числа и $b \neq 1$ , то $\log_{b} (x) = y$ эквивалентно $b^{y} = x$ .

$e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}} = | v |$

Этап 4.3

Решим относительно $v$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Перепишем уравнение в виде $| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$ .

$| v | = e^{- \frac{1}{4} x + C_{3}}$

Этап 4.3.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{4}$ .

$| v | = e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Этап 4.3.3

Избавимся от знаков модуля. В правой части уравнения возникнет знак $\pm$ , поскольку $| x | = \pm x$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$

Этап 5

Сгруппируем постоянные члены.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Перепишем $e^{- \frac{x}{4} + C_{3}}$ в виде $e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{- \frac{x}{4}} e^{C_{3}}$

Этап 5.2

Изменим порядок $e^{- \frac{x}{4}}$ и $e^{C_{3}}$ .

$v = \pm e^{C_{3}} e^{- \frac{x}{4}}$

Этап 5.3

Объединим константы с плюсом или минусом.

$v = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Этап 6

Заменим все вхождения $v$ на $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = C_{4} e^{- \frac{x}{4}}$

Этап 7

Перепишем уравнение.

$d y = C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Этап 8

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Этап 8.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{5} = \int C_{4} e^{- \frac{x}{4}} d x$

Этап 8.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $C_{4}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $C_{4}$ из-под знака интеграла.

$y + C_{5} = C_{4} \int e^{- \frac{x}{4}} d x$

Этап 8.3.2

Пусть $u = - \frac{x}{4}$ . Тогда $d u = - \frac{1}{4} d x$ , следовательно $- 4 d u = d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1

Пусть $u = - \frac{x}{4}$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.2.1.1

Дифференцируем $- \frac{x}{4}$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x}{4}]$

Этап 8.3.2.1.2

Поскольку $- \frac{1}{4}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{x}{4}$ по $x$ равна $- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{1}{4} \frac{d}{d x} [x]$

Этап 8.3.2.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 1$ .

$- \frac{1}{4} \cdot 1$

Этап 8.3.2.1.4

Умножим $- 1$ на $1$ .

$- \frac{1}{4}$

Этап 8.3.2.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{- 1}{- \frac{1}{4}} d u$

Этап 8.3.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.3.1

Деление двух отрицательных значений дает положительное значение.

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \frac{1}{\frac{1}{4}} d u$

Этап 8.3.3.2

Умножим на обратную дробь, чтобы разделить на $\frac{1}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} (1 \cdot 4) d u$

Этап 8.3.3.3

Умножим $4$ на $1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - e^{u} \cdot 4 d u$

Этап 8.3.3.4

Умножим $4$ на $- 1$ .

$y + C_{5} = C_{4} \int - 4 e^{u} d u$

Этап 8.3.4

Поскольку $- 4$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $- 4$ из-под знака интеграла.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 \int e^{u} d u)$

Этап 8.3.5

Интеграл $e^{u}$ по $u$ имеет вид $e^{u}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 (e^{u} + C_{6}))$

Этап 8.3.6

Упростим.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{u}) + C_{7}$

Этап 8.3.7

Заменим все вхождения $u$ на $- \frac{x}{4}$ .

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{x}{4}}) + C_{7}$

Этап 8.3.8

Изменим порядок членов.

$y + C_{5} = C_{4} (- 4 e^{- \frac{1}{4} x}) + C_{7}$

Этап 8.3.9

Изменим порядок членов.

$y + C_{5} = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C_{4} + C_{7}$

Этап 8.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $D$ .

$y = - 4 e^{- \frac{1}{4} x} C + D$