Математический анализ Примеры

$x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = x$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [x]$

Этап 1.2

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 0$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = x^{2} y + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y + 4 y]$

Этап 2.2

По правилу суммы производная $x^{2} y + 4 y$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.3

Найдем значение $\frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $y$ является константой относительно $x$ , производная $x^{2} y$ по $x$ равна $y \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = y (2 x) + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.3.3

Перенесем $2$ влево от $y$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + \frac{d}{d x} [4 y]$

Этап 2.4

Поскольку $4 y$ является константой относительно $x$ , производная $4 y$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x + 0$

Этап 2.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Добавим $2 y x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 y x$

Этап 2.5.2

Изменим порядок множителей в $2 y x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 2 x y$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$0 = 2 x y$

Этап 3.2

Так как левая часть не равна правой, уравнение не является тождеством.

$0 = 2 x y$ не является тождеством.

Этап 4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Подставим $0$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ .

$\frac{0 - \frac{\partial N}{\partial x}}{N}$

Этап 4.2

Подставим $2 x y$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{N}$

Этап 4.3

Подставим $x^{2} y + 4 y$ вместо $N$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Подставим $x^{2} y + 4 y$ вместо $N$ .

$\frac{0 - (2 x y)}{x^{2} y + 4 y}$

Этап 4.3.2

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.2.1

Умножим $- 1$ на $2$ .

$\frac{0 - 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Этап 4.3.2.2

Вычтем $2 x y$ из $0$ .

$\frac{- 2 x y}{x^{2} y + 4 y}$

Этап 4.3.3

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.3.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + 4 y}$

Этап 4.3.3.2

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{- 2 x y}{y x^{2} + y \cdot 4}$

Этап 4.3.3.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Этап 4.3.4

Сократим общий множитель $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.4.1

Сократим общий множитель.

$\frac{- 2 x y}{y (x^{2} + 4)}$

Этап 4.3.4.2

Перепишем это выражение.

$\frac{- 2 x}{x^{2} + 4}$

Этап 4.3.5

Вынесем знак минуса перед дробью.

$- \frac{2 x}{x^{2} + 4}$

Этап 4.4

Найдем коэффициент интегрирования $μ (x, y) = e^{\int \frac{\frac{\partial M}{\partial y} - \frac{\partial N}{\partial x}}{N} d x}$ .

$μ (x, y) = e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Этап 5

Найдем интеграл $e^{\int - \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{2 x}{x^{2} + 4} d x}$

Этап 5.2

Поскольку $2$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- (2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x)}$

Этап 5.3

Умножим $2$ на $- 1$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x}$

Этап 5.4

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.4.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 5.4.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 5.4.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 5.4.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 5.4.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 5.4.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u}$

Этап 5.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.5.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{u \cdot 2} d u}$

Этап 5.5.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$μ (x, y) = e^{- 2 \int \frac{1}{2 u} d u}$

Этап 5.6

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$μ (x, y) = e^{- 2 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u)}$

Этап 5.7

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{- 2}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2

Сократим общий множитель $- 2$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.7.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2.2

Сократим общий множитель.

$μ (x, y) = e^{\frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2.3

Перепишем это выражение.

$μ (x, y) = e^{\frac{- 1}{1} \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.7.2.2.4

Разделим $- 1$ на $1$ .

$μ (x, y) = e^{- \int \frac{1}{u} d u}$

Этап 5.8

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$μ (x, y) = e^{- (\ln (| u |) + C)}$

Этап 5.9

Упростим.

$μ (x, y) = e^{- \ln (| u |)} + C$

Этап 5.10

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 4$ .

$μ (x, y) = e^{- \ln (| x^{2} + 4 |)} + C$

Этап 5.11

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.11.1

Упростим $- \ln (| x^{2} + 4 |)$ путем переноса $- 1$ под логарифм.

$μ (x, y) = e^{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{- 1})} + C$

Этап 5.11.2

Экспонента и логарифм являются обратными функциями.

$μ (x, y) = {| x^{2} + 4 |}^{- 1} + C$

Этап 5.11.3

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$μ (x, y) = \frac{1}{| x^{2} + 4 |} + C$

Этап 6

Умножим обе стороны $x d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$ на коэффициент интегрирования $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.1

Умножим $x$ на $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$x \frac{1}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Этап 6.2

Объединим $x$ и $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) d y = 0$

Этап 6.3

Умножим $x^{2} y + 4 y$ на $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + (x^{2} y + 4 y) \frac{1}{x^{2} + 4} d y = 0$

Этап 6.4

Умножим $x^{2} y + 4 y$ на $\frac{1}{x^{2} + 4}$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{x^{2} y + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Этап 6.5

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y + 4 y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.5.1

Вынесем множитель $y$ из $x^{2} y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + 4 y}{x^{2} + 4} d y = 0$

Этап 6.5.2

Вынесем множитель $y$ из $4 y$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y x^{2} + y \cdot 4}{x^{2} + 4} d y = 0$

Этап 6.5.3

Вынесем множитель $y$ из $y x^{2} + y \cdot 4$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Этап 6.6

Сократим общий множитель $x^{2} + 4$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 6.6.1

Сократим общий множитель.

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + \frac{y (x^{2} + 4)}{x^{2} + 4} d y = 0$

Этап 6.6.2

Разделим $y$ на $1$ .

$\frac{x}{x^{2} + 4} d x + y d y = 0$

Этап 7

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $N (x, y)$ .

$f (x, y) = \int y d y$

Этап 8

Проинтегрируем $N (x, y) = y$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

По правилу степени интеграл $y$ по $y$ имеет вид $\frac{1}{2} y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + C$

Этап 9

Так как интеграл $g (x)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$

Этап 10

Зададим $\frac{\partial f}{\partial x} = M (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Этап 11

Найдем $\frac{\partial f}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 11.1

Продифференцируем $f$ по $x$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2} + g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Этап 11.2

По правилу суммы производная $\frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Этап 11.3

Поскольку $\frac{1}{2} y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $\frac{1}{2} y^{2}$ относительно $x$ равна $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [g (x)] = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Этап 11.4

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (x)$ равна $\frac{d g}{d x}$ .

$0 + \frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Этап 11.5

Добавим $0$ и $\frac{d g}{d x}$ .

$\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$

Этап 12

Найдем первообразную $\frac{x}{x^{2} + 4}$ , чтобы найти $g (x)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d x} = \frac{x}{x^{2} + 4}$ .

$\int \frac{d g}{d x} d x = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Этап 12.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d x} d x$ .

$g (x) = \int \frac{x}{x^{2} + 4} d x$

Этап 12.3

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Тогда $d u = 2 x d x$ , следовательно $\frac{1}{2} d u = x d x$ . Перепишем, используя $u$ и $d$ $u$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1

Пусть $u = x^{2} + 4$ . Найдем $\frac{d u}{d x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.3.1.1

Дифференцируем $x^{2} + 4$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4]$

Этап 12.3.1.2

По правилу суммы производная $x^{2} + 4$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 12.3.1.3

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4]$

Этап 12.3.1.4

Поскольку $4$ является константой относительно $x$ , производная $4$ относительно $x$ равна $0$ .

$2 x + 0$

Этап 12.3.1.5

Добавим $2 x$ и $0$ .

$2 x$

Этап 12.3.2

Переформулируем задачу с помощью $u$ и $d u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{2} d u$

Этап 12.4

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 12.4.1

Умножим $\frac{1}{u}$ на $\frac{1}{2}$ .

$g (x) = \int \frac{1}{u \cdot 2} d u$

Этап 12.4.2

Перенесем $2$ влево от $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 \cdot u} d u$

Этап 12.4.3

Умножим $2$ на $u$ .

$g (x) = \int \frac{1}{2 u} d u$

Этап 12.5

Поскольку $\frac{1}{2}$ — константа по отношению к $u$ , вынесем $\frac{1}{2}$ из-под знака интеграла.

$g (x) = \frac{1}{2} \int \frac{1}{u} d u$

Этап 12.6

Интеграл $\frac{1}{u}$ по $u$ имеет вид $\ln (| u |)$ .

$g (x) = \frac{1}{2} (\ln (| u |) + C)$

Этап 12.7

Упростим.

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| u |) + C$

Этап 12.8

Заменим все вхождения $u$ на $x^{2} + 4$ .

$g (x) = \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Этап 13

Подставим выражение для $g (x)$ в $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + g (x)$ .

$f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Этап 14

Упростим $f (x, y) = \frac{1}{2} y^{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.1.1

Объединим $\frac{1}{2}$ и $y^{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |) + C$

Этап 14.1.2

Упростим $\frac{1}{2} \ln (| x^{2} + 4 |)$ путем переноса $\frac{1}{2}$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) + C$

Этап 14.2

Чтобы записать $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot \frac{2}{2} + C$

Этап 14.3

Объединим $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ и $\frac{2}{2}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2}}{2} + \frac{\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2}{2} + C$

Этап 14.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1

Умножим $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}}) \cdot 2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.1.1

Изменим порядок $\ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ и $2$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + 2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}{2} + C$

Этап 14.5.1.2

Упростим $2 \cdot \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})$ путем переноса $2$ под логарифм.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2})}{2} + C$

Этап 14.5.2

Перемножим экспоненты в ${({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Этап 14.5.2.2

Сократим общий множитель $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 14.5.2.2.1

Сократим общий множитель.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{\frac{1}{2} \cdot 2})}{2} + C$

Этап 14.5.2.2.2

Перепишем это выражение.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln ({| x^{2} + 4 |}^{1})}{2} + C$

Этап 14.5.3

Упростим.

$f (x, y) = \frac{y^{2} + \ln (| x^{2} + 4 |)}{2} + C$