Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d x} + 12 x y^{4} = 0$

Этап 1

Разделим переменные.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Вычтем $12 x y^{4}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d y}{d x} = - 12 x y^{4}$

Этап 1.2

Умножим обе части на $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{1}{y^{4}} (- 12 x y^{4})$

Этап 1.3

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = - 12 \frac{1}{y^{4}} (x y^{4})$

Этап 1.3.2

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{y^{4}}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{y^{4}} (x y^{4})$

Этап 1.3.3

Сократим общий множитель $y^{4}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.3.1

Вынесем множитель $y^{4}$ из $x y^{4}$ .

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{y^{4}} (y^{4} x)$

Этап 1.3.3.2

Сократим общий множитель.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = \frac{- 12}{y^{4}} (y^{4} x)$

Этап 1.3.3.3

Перепишем это выражение.

$\frac{1}{y^{4}} \frac{d y}{d x} = - 12 x$

Этап 1.4

Перепишем уравнение.

$\frac{1}{y^{4}} d y = - 12 x d x$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int \frac{1}{y^{4}} d y = \int - 12 x d x$

Этап 2.2

Проинтегрируем левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1

Применим основные правила для показателей степени.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.1

Вынесем $y^{4}$ из знаменателя, возведя в $- 1$ степень.

$\int {(y^{4})}^{- 1} d y = \int - 12 x d x$

Этап 2.2.1.2

Перемножим экспоненты в ${(y^{4})}^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.1.2.1

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int y^{4 \cdot - 1} d y = \int - 12 x d x$

Этап 2.2.1.2.2

Умножим $4$ на $- 1$ .

$\int y^{- 4} d y = \int - 12 x d x$

Этап 2.2.2

По правилу степени интеграл $y^{- 4}$ по $y$ имеет вид $- \frac{1}{3} y^{- 3}$ .

$- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Этап 2.2.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.1

Перепишем $- \frac{1}{3} y^{- 3} + C_{1}$ в виде $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1}$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{y^{3}} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Этап 2.2.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.2.3.2.1

Умножим $\frac{1}{y^{3}}$ на $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{y^{3} \cdot 3} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Этап 2.2.3.2.2

Перенесем $3$ влево от $y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \int - 12 x d x$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $- 12$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $- 12$ из-под знака интеграла.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 12 \int x d x$

Этап 2.3.2

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$

Этап 2.3.3

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.1

Перепишем $- 12 (\frac{1}{2} x^{2} + C_{2})$ в виде $- 12 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 12 (\frac{1}{2}) x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.1

Объединим $- 12$ и $\frac{1}{2}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{- 12}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 12$ и $2$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $- 12$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 6}{2} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2

Сократим общие множители.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.3.2.2.2.1

Вынесем множитель $2$ из $2$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 6}{2 (1)} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.2

Сократим общий множитель.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{2 \cdot - 6}{2 \cdot 1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.3

Перепишем это выражение.

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = \frac{- 6}{1} x^{2} + C_{2}$

Этап 2.3.3.2.2.2.4

Разделим $- 6$ на $1$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} + C_{1} = - 6 x^{2} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} = - 6 x^{2} + K$

Этап 3

Решим относительно $y$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Найдем НОК знаменателей членов уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1.1

Нахождение НОЗ для списка значений — это то же самое, что найти НОК для знаменателей этих значений.

$3 y^{3}, 1, 1$

Этап 3.1.2

НОК единицы и любого выражения есть это выражение.

$3 y^{3}$

Этап 3.2

Каждый член в $- \frac{1}{3 y^{3}} = - 6 x^{2} + K$ умножим на $3 y^{3}$ , чтобы убрать дроби.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.1

Умножим каждый член $- \frac{1}{3 y^{3}} = - 6 x^{2} + K$ на $3 y^{3}$ .

$- \frac{1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.2.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1

Сократим общий множитель $3 y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.2.1.1

Перенесем стоящий впереди знак минуса в $- \frac{1}{3 y^{3}}$ в числитель.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.2.2.1.2

Сократим общий множитель.

$\frac{- 1}{3 y^{3}} (3 y^{3}) = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.2.2.1.3

Перепишем это выражение.

$- 1 = - 6 x^{2} (3 y^{3}) + K (3 y^{3})$

Этап 3.2.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.2.3.1.1

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = - 6 \cdot 3 x^{2} y^{3} + K (3 y^{3})$

Этап 3.2.3.1.2

Умножим $- 6$ на $3$ .

$- 1 = - 18 x^{2} y^{3} + K (3 y^{3})$

Этап 3.2.3.1.3

Перепишем, используя свойство коммутативности умножения.

$- 1 = - 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3}$

Этап 3.3

Решим уравнение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.1

Перепишем уравнение в виде $- 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$ .

$- 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3} = - 1$

Этап 3.3.2

Вынесем множитель $3 y^{3}$ из $- 18 x^{2} y^{3} + 3 K y^{3}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.2.1

Вынесем множитель $3 y^{3}$ из $- 18 x^{2} y^{3}$ .

$3 y^{3} (- 6 x^{2}) + 3 K y^{3} = - 1$

Этап 3.3.2.2

Вынесем множитель $3 y^{3}$ из $3 K y^{3}$ .

$3 y^{3} (- 6 x^{2}) + 3 y^{3} K = - 1$

Этап 3.3.2.3

Вынесем множитель $3 y^{3}$ из $3 y^{3} (- 6 x^{2}) + 3 y^{3} K$ .

$3 y^{3} (- 6 x^{2} + K) = - 1$

Этап 3.3.3

Разделим каждый член $3 y^{3} (- 6 x^{2} + K) = - 1$ на $3 (- 6 x^{2} + K)$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.1

Разделим каждый член $3 y^{3} (- 6 x^{2} + K) = - 1$ на $3 (- 6 x^{2} + K)$ .

$\frac{3 y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{3 (- 6 x^{2} + K)} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Этап 3.3.3.2

Упростим левую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.1.1

Сократим общий множитель.

$\frac{3 y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{3 (- 6 x^{2} + K)} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Этап 3.3.3.2.1.2

Перепишем это выражение.

$\frac{y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{- 6 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Этап 3.3.3.2.2

Сократим общий множитель $- 6 x^{2} + K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.2.2.1

Сократим общий множитель.

$\frac{y^{3} (- 6 x^{2} + K)}{- 6 x^{2} + K} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Этап 3.3.3.2.2.2

Разделим $y^{3}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{- 1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Этап 3.3.3.3

Упростим правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.1

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- 6 x^{2} + K)}$

Этап 3.3.3.3.2

Вынесем множитель $- 1$ из $- 6 x^{2}$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (6 x^{2}) + K)}$

Этап 3.3.3.3.3

Вынесем множитель $- 1$ из $K$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (6 x^{2}) - 1 (- K))}$

Этап 3.3.3.3.4

Вынесем множитель $- 1$ из $- (6 x^{2}) - 1 (- K)$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- (6 x^{2} - K))}$

Этап 3.3.3.3.5

Упростим выражение.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.3.3.5.1

Перепишем $- (6 x^{2} - K)$ в виде $- 1 (6 x^{2} - K)$ .

$y^{3} = - \frac{1}{3 (- 1 (6 x^{2} - K))}$

Этап 3.3.3.3.5.2

Вынесем знак минуса перед дробью.

$y^{3} = - - \frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$

Этап 3.3.3.3.5.3

Умножим $- 1$ на $- 1$ .

$y^{3} = 1 \frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$

Этап 3.3.3.3.5.4

Умножим $\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$ на $1$ .

$y^{3} = \frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}$

Этап 3.3.4

Возьмем указанный корень от обеих частей уравнения, чтобы исключить член со степенью в левой части.

$y = \sqrt[3]{\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}}$

Этап 3.3.5

Упростим $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.1

Перепишем $\sqrt[3]{\frac{1}{3 (6 x^{2} - K)}}$ в виде $\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$

Этап 3.3.5.2

Любой корень из $1$ равен $1$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$

Этап 3.3.5.3

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$ .

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$

Этап 3.3.5.4

Объединим и упростим знаменатель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.4.1

Умножим $\frac{1}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}$ на $\frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)} {\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$

Этап 3.3.5.4.2

Возведем $\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}$ в степень $1$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{1} {\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}$

Этап 3.3.5.4.3

Применим правило степени $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ для объединения показателей.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{1 + 2}}$

Этап 3.3.5.4.4

Добавим $1$ и $2$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{3}}$

Этап 3.3.5.4.5

Перепишем ${\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{3}$ в виде $3 (6 x^{2} - K)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.4.5.1

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}$ в виде ${(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{({(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{1}{3}})}^{3}}$

Этап 3.3.5.4.5.2

Применим правило степени и перемножим показатели, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}$

Этап 3.3.5.4.5.3

Объединим $\frac{1}{3}$ и $3$ .

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.3.5.4.5.4

Сократим общий множитель $3$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.4.5.4.1

Сократим общий множитель.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{\frac{3}{3}}}$

Этап 3.3.5.4.5.4.2

Перепишем это выражение.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{{(3 (6 x^{2} - K))}^{1}}$

Этап 3.3.5.4.5.5

Упростим.

$y = \frac{{\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Этап 3.3.5.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.3.5.5.1

Перепишем ${\sqrt[3]{3 (6 x^{2} - K)}}^{2}$ в виде $\sqrt[3]{{(3 (6 x^{2} - K))}^{2}}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{{(3 (6 x^{2} - K))}^{2}}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Этап 3.3.5.5.2

Применим правило умножения к $3 (6 x^{2} - K)$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{3^{2} {(6 x^{2} - K)}^{2}}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Этап 3.3.5.5.3

Возведем $3$ в степень $2$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{9 {(6 x^{2} - K)}^{2}}}{3 (6 x^{2} - K)}$

Этап 4

Упростим постоянную интегрирования.

$y = \frac{\sqrt[3]{9 {(6 x^{2} + K)}^{2}}}{3 (6 x^{2} + K)}$