Математический анализ Примеры

$\frac{d y}{d t} = 5 \sqrt{t}$ , $y (1) = 5$

Этап 1

Перепишем уравнение.

$d y = 5 \sqrt{t} d t$

Этап 2

Проинтегрируем обе части.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Зададим интеграл на каждой стороне.

$\int d y = \int 5 \sqrt{t} d t$

Этап 2.2

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$y + C_{1} = \int 5 \sqrt{t} d t$

Этап 2.3

Проинтегрируем правую часть.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.1

Поскольку $5$ — константа по отношению к $t$ , вынесем $5$ из-под знака интеграла.

$y + C_{1} = 5 \int \sqrt{t} d t$

Этап 2.3.2

С помощью $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ запишем $\sqrt{t}$ в виде $t^{\frac{1}{2}}$ .

$y + C_{1} = 5 \int t^{\frac{1}{2}} d t$

Этап 2.3.3

По правилу степени интеграл $t^{\frac{1}{2}}$ по $t$ имеет вид $\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$

Этап 2.3.4

Упростим ответ.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.1

Перепишем $5 (\frac{2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2})$ в виде $5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$ .

$y + C_{1} = 5 (\frac{2}{3}) t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.3.4.2.1

Объединим $5$ и $\frac{2}{3}$ .

$y + C_{1} = \frac{5 \cdot 2}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.3.4.2.2

Умножим $5$ на $2$ .

$y + C_{1} = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + C_{2}$

Этап 2.4

Сгруппируем постоянную интегрирования в правой части как $K$ .

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 3

Используем начальное условие, чтобы найти значение $K$ , подставив $1$ вместо $t$ и $5$ вместо $y$ в $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ .

$5 = \frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K$

Этап 4

Решим относительно $K$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.1

Перепишем уравнение в виде $\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 5$ .

$\frac{10}{3} \cdot 1^{\frac{3}{2}} + K = 5$

Этап 4.2

Упростим каждый член.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.2.1

Единица в любой степени равна единице.

$\frac{10}{3} \cdot 1 + K = 5$

Этап 4.2.2

Умножим $\frac{10}{3}$ на $1$ .

$\frac{10}{3} + K = 5$

Этап 4.3

Перенесем все члены без $K$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.1

Вычтем $\frac{10}{3}$ из обеих частей уравнения.

$K = 5 - \frac{10}{3}$

Этап 4.3.2

Чтобы записать $5$ в виде дроби с общим знаменателем, умножим ее на $\frac{3}{3}$ .

$K = 5 \cdot \frac{3}{3} - \frac{10}{3}$

Этап 4.3.3

Объединим $5$ и $\frac{3}{3}$ .

$K = \frac{5 \cdot 3}{3} - \frac{10}{3}$

Этап 4.3.4

Объединим числители над общим знаменателем.

$K = \frac{5 \cdot 3 - 10}{3}$

Этап 4.3.5

Упростим числитель.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 4.3.5.1

Умножим $5$ на $3$ .

$K = \frac{15 - 10}{3}$

Этап 4.3.5.2

Вычтем $10$ из $15$ .

$K = \frac{5}{3}$

Этап 5

Подставим $\frac{5}{3}$ вместо $K$ в $y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + K$ и упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Подставим $\frac{5}{3}$ вместо $K$ .

$y = \frac{10}{3} t^{\frac{3}{2}} + \frac{5}{3}$

Этап 5.2

Объединим $\frac{10}{3}$ и $t^{\frac{3}{2}}$ .

$y = \frac{10 t^{\frac{3}{2}}}{3} + \frac{5}{3}$