Математический анализ Примеры

$(2 x y^{3} + 1) d x + (3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}) d y = 0$

Этап 1

Найдем $\frac{\partial M}{\partial y}$ , где $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.1

Продифференцируем $M$ по $y$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3} + 1]$

Этап 1.2

По правилу суммы производная $2 x y^{3} + 1$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{d}{d y} [2 x y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [2 x y^{3}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.3.1

Поскольку $2 x$ является константой относительно $y$ , производная $2 x y^{3}$ по $y$ равна $2 x \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 2 x (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.3.3

Умножим $3$ на $2$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + \frac{d}{d y} [1]$

Этап 1.4

Поскольку $1$ является константой относительно $y$ , производная $1$ относительно $y$ равна $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2} + 0$

Этап 1.5

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 1.5.1

Добавим $6 x y^{2}$ и $0$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 x y^{2}$

Этап 1.5.2

Изменим порядок множителей в $6 x y^{2}$ .

$\frac{\partial M}{\partial y} = 6 y^{2} x$

Этап 2

Найдем $\frac{\partial N}{\partial x}$ , где $N (x, y) = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.1

Продифференцируем $N$ по $x$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}]$

Этап 2.2

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}]$

Этап 2.3

По правилу суммы производная $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$ по $x$ имеет вид $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Этап 2.4

Найдем значение $\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.4.1

Поскольку $3 y^{2}$ является константой относительно $x$ , производная $3 x^{2} y^{2}$ по $x$ равна $3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Этап 2.4.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ имеет вид $n x^{n - 1}$ , где $n = 2$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 3 y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Этап 2.4.3

Умножим $2$ на $3$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- \frac{1}{y}]$

Этап 2.5

Продифференцируем, используя правило константы.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 2.5.1

Поскольку $- \frac{1}{y}$ является константой относительно $x$ , производная $- \frac{1}{y}$ относительно $x$ равна $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x + 0$

Этап 2.5.2

Добавим $6 y^{2} x$ и $0$ .

$\frac{\partial N}{\partial x} = 6 y^{2} x$

Этап 3

Проверим, что $\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial N}{\partial x}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 3.1

Подставим $6 y^{2} x$ вместо $\frac{\partial M}{\partial y}$ , а $6 y^{2} x$ вместо $\frac{\partial N}{\partial x}$ .

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$

Этап 3.2

Так как обе части демонстрируют эквивалентность, уравнение является тождеством.

$6 y^{2} x = 6 y^{2} x$ является тождеством.

Этап 4

Приравняем $f (x, y)$ к интегралу $M (x, y)$ .

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} + 1 d x$

Этап 5

Проинтегрируем $M (x, y) = 2 x y^{3} + 1$ , чтобы найти $f (x, y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 5.1

Разделим данный интеграл на несколько интегралов.

$f (x, y) = \int 2 x y^{3} d x + \int d x$

Этап 5.2

Поскольку $2 y^{3}$ — константа по отношению к $x$ , вынесем $2 y^{3}$ из-под знака интеграла.

$f (x, y) = 2 y^{3} \int x d x + \int d x$

Этап 5.3

По правилу степени интеграл $x$ по $x$ имеет вид $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int d x$

Этап 5.4

Применим правило дифференцирования постоянных функций.

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{1}{2} x^{2} + C) + x + C$

Этап 5.5

Объединим $\frac{1}{2}$ и $x^{2}$ .

$f (x, y) = 2 y^{3} (\frac{x^{2}}{2} + C) + x + C$

Этап 5.6

Упростим.

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + C$

Этап 6

Так как интеграл $g (y)$ будет содержать постоянную интегрирования, мы можем заменить $C$ на $g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$

Этап 7

Зададим $\frac{\partial f}{\partial y} = N (x, y)$ .

$\frac{\partial f}{\partial y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8

Найдем $\frac{\partial f}{\partial y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.1

Продифференцируем $f$ по $y$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2} + x + g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.2

По правилу суммы производная $y^{3} x^{2} + x + g (y)$ по $y$ имеет вид $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)]$ .

$\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.3

Найдем значение $\frac{d}{d y} [y^{3} x^{2}]$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.3.1

Поскольку $x^{2}$ является константой относительно $y$ , производная $y^{3} x^{2}$ по $y$ равна $x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}]$ .

$x^{2} \frac{d}{d y} [y^{3}] + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.3.2

Продифференцируем, используя правило степени, которое гласит, что $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ имеет вид $n y^{n - 1}$ , где $n = 3$ .

$x^{2} (3 y^{2}) + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.3.3

Перенесем $3$ влево от $x^{2}$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.4

Поскольку $x$ является константой относительно $y$ , производная $x$ относительно $y$ равна $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d}{d y} [g (y)] = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.5

Продифференцируем, используя правило функции, которое гласит, что производная от $g (y)$ равна $\frac{d g}{d y}$ .

$3 x^{2} y^{2} + 0 + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.6

Упростим.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 8.6.1

Добавим $3 x^{2} y^{2}$ и $0$ .

$3 x^{2} y^{2} + \frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 8.6.2

Изменим порядок членов.

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - y^{- 1}$

Этап 9

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1

Решим относительно $\frac{d g}{d y}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.1

Перепишем выражение, используя правило отрицательных степеней $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{d g}{d y} + 3 x^{2} y^{2} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y}$

Этап 9.1.2

Перенесем все члены без $\frac{d g}{d y}$ в правую часть уравнения.

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.1

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из обеих частей уравнения.

$\frac{d g}{d y} = 3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$

Этап 9.1.2.2

Объединим противоположные члены в $3 x^{2} y^{2} - \frac{1}{y} - 3 x^{2} y^{2}$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 9.1.2.2.1

Вычтем $3 x^{2} y^{2}$ из $3 x^{2} y^{2}$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y} + 0$

Этап 9.1.2.2.2

Добавим $- \frac{1}{y}$ и $0$ .

$\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$

Этап 10

Найдем первообразную $- \frac{1}{y}$ , чтобы найти $g (y)$ .

Нажмите для увеличения количества этапов...

Этап 10.1

Проинтегрируем обе части $\frac{d g}{d y} = - \frac{1}{y}$ .

$\int \frac{d g}{d y} d y = \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 10.2

Найдем значение $\int \frac{d g}{d y} d y$ .

$g (y) = \int - \frac{1}{y} d y$

Этап 10.3

Поскольку $- 1$ — константа по отношению к $y$ , вынесем $- 1$ из-под знака интеграла.

$g (y) = - \int \frac{1}{y} d y$

Этап 10.4

Интеграл $\frac{1}{y}$ по $y$ имеет вид $\ln (| y |)$ .

$g (y) = - (\ln (| y |) + C)$

Этап 10.5

Упростим.

$g (y) = - \ln (| y |) + C$

Этап 11

Подставим выражение для $g (y)$ в $f (x, y) = y^{3} x^{2} + x + g (y)$ .

$f (x, y) = y^{3} x^{2} + x - \ln (| y |) + C$